10. Sınıf Kombinasyon (Seçme) Formülü ve Hesaplama Test 1

Bir sınıfta 6 kız ve 4 erkek öğrenci bulunmaktadır. En az bir erkek öğrenci içeren 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

A) 60
B) 80
C) 100
D) 120

Grup oluşturma problemlerinde "en az bir" ifadesi geçtiğinde, genellikle iki farklı yöntem kullanabiliriz:

• Yöntem 1: Doğrudan Hesaplama (Durumları Tek Tek İnceleme)
• Yöntem 2: Tamamlayıcı Olay Yöntemi (Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumu Çıkarma)

Bu soruda, tamamlayıcı olay yöntemi daha pratik ve hızlı bir çözüm sunacaktır. Şimdi adım adım bu yöntemi uygulayalım:

• Adım 1: Toplam Öğrenci Sayısını ve Oluşturulacak Grubun Büyüklüğünü Belirleyelim.

  Sınıfta 6 kız ve 4 erkek öğrenci var. Toplam öğrenci sayısı $6 + 4 = 10$'dur. Biz 3 kişilik bir grup oluşturmak istiyoruz.

• Adım 2: Hiçbir Kısıtlama Olmadan Oluşturulabilecek Tüm 3 Kişilik Grupların Sayısını Bulalım.

  10 öğrenciden 3 öğrenciyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi kombinasyon formülü ile hesaplarız. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.

  Bu durumda $n=10$ (toplam öğrenci sayısı) ve $k=3$ (grup büyüklüğü) olur.

  $C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ farklı grup oluşturulabilir.

• Adım 3: İstenmeyen Durumu Belirleyelim ve Bu Durumdaki Grup Sayısını Bulalım.

  Soru bizden "en az bir erkek öğrenci içeren" grup istiyor. Bu durumun zıttı (istenmeyen durum) ise "hiç erkek öğrenci içermeyen" bir gruptur. Yani, grubun tamamının kız öğrencilerden oluştuğu durum.

  Sınıfta 6 kız öğrenci bulunmaktadır. Bu 6 kız öğrenciden 3 kişilik bir grup oluşturma sayısını hesaplayalım:

  $C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ farklı grup oluşturulabilir (hepsi kızlardan oluşan).

• Adım 4: İstenen Durumdaki Grup Sayısını Bulmak İçin Tamamlayıcı Olay Yöntemini Uygulayalım.

  Toplam grup sayısından (hiçbir kısıtlama olmadan) istenmeyen durumu (hiç erkek öğrenci içermeyen gruplar) çıkarırsak, "en az bir erkek öğrenci içeren" grup sayısını buluruz.

  En az bir erkek öğrenci içeren grup sayısı = (Toplam grup sayısı) - (Hiç erkek öğrenci içermeyen grup sayısı)

  En az bir erkek öğrenci içeren grup sayısı = $120 - 20 = 100$ farklı şekilde oluşturulabilir.

Alternatif olarak, doğrudan hesaplama yöntemini de kullanabilirdik:

• Durum 1: 1 erkek ve 2 kız öğrenci

  $C(4, 1) \times C(6, 2) = 4 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 4 \times 15 = 60$ farklı grup.

• Durum 2: 2 erkek ve 1 kız öğrenci

  $C(4, 2) \times C(6, 1) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 6 = 6 \times 6 = 36$ farklı grup.

• Durum 3: 3 erkek ve 0 kız öğrenci

  $C(4, 3) \times C(6, 0) = 4 \times 1 = 4$ farklı grup.

• Toplam: $60 + 36 + 4 = 100$ farklı grup.

Her iki yöntem de aynı sonuca ulaşmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.