4. Bir hareketlinin konum-zaman fonksiyonu s(t) = t³ - 6t² + 9t + 2 şeklinde veriliyor. Bu hareketlinin ivme-zaman fonksiyonu a(t) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3t² - 12t + 9Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir hareketlinin konum-zaman fonksiyonu verilmiş ve bizden ivme-zaman fonksiyonunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, türev alma kurallarını kullanarak konum, hız ve ivme arasındaki ilişkileri anlamamızı gerektirir. Adım adım ilerleyelim:
Konum, Hız ve İvme Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım:
Bir hareketlinin konum-zaman fonksiyonu $s(t)$ ile verildiğinde:
Verilen Konum-Zaman Fonksiyonu:
Soru bize konum-zaman fonksiyonunu $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ olarak vermiştir.
Hız-Zaman Fonksiyonunu Bulalım (Birinci Türev):
Şimdi $s(t)$ fonksiyonunun zamana göre birinci türevini alarak hız-zaman fonksiyonu $v(t)$'yi bulalım. Türev alma kurallarını hatırlayalım: $\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}$ ve sabit terimin türevi sıfırdır.
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t + 2)$
$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3) - \frac{d}{dt}(6t^2) + \frac{d}{dt}(9t) + \frac{d}{dt}(2)$
$v(t) = 3t^{3-1} - 6 \cdot 2t^{2-1} + 9 \cdot 1t^{1-1} + 0$
$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$
İvme-Zaman Fonksiyonunu Bulalım (İkinci Türev):
Şimdi de bulduğumuz hız-zaman fonksiyonu $v(t)$'nin zamana göre birinci türevini (yani $s(t)$'nin ikinci türevini) alarak ivme-zaman fonksiyonu $a(t)$'yi bulalım.
$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9)$
$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2) - \frac{d}{dt}(12t) + \frac{d}{dt}(9)$
$a(t) = 3 \cdot 2t^{2-1} - 12 \cdot 1t^{1-1} + 0$
$a(t) = 6t - 12$
Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:
Bulduğumuz ivme-zaman fonksiyonu $a(t) = 6t - 12$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
