Hangi seçenekte verilen ifade bir polinom belirtir?
A) $\frac{1}{x} + 2x - 1$
B) $x^2 + \sqrt{x} + 3$
C) $|x| + 2x - 5$
D) $3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
Bir ifadenin polinom belirtip belirtmediğini anlamak için polinomun tanımını hatırlamamız gerekir.
- Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren bir cebirsel ifadedir.
- Yani, bir polinomda değişkenin kuvveti (üssü) doğal sayı olmalıdır ($0, 1, 2, 3, \dots$).
- Bu durumda, değişken:
- Paydada bulunamaz (çünkü bu, negatif üs anlamına gelir).
- Kök içinde bulunamaz (çünkü bu, kesirli üs anlamına gelir).
- Mutlak değer içinde bulunamaz.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\frac{1}{x} + 2x - 1$
- Bu ifadede $\frac{1}{x}$ terimi, $x^{-1}$ olarak yazılabilir.
- Değişken $x$'in kuvveti $-1$'dir. $-1$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom belirtmez.
- B) $x^2 + \sqrt{x} + 3$
- Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi, $x^{\frac{1}{2}}$ olarak yazılabilir.
- Değişken $x$'in kuvveti $\frac{1}{2}$'dir. $\frac{1}{2}$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom belirtmez.
- C) $|x| + 2x - 5$
- Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır.
- Polinomlar, değişkenin mutlak değerini içermezler.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom belirtmez.
- D) $3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
- Bu ifadede yer alan tüm değişkenlerin kuvvetleri doğal sayılardır: $x^4$ (kuvvet $4$), $x^2$ (kuvvet $2$), $5x$ (kuvvet $1$), $-1$ (sabit terim, $x^0$ olarak düşünülebilir, kuvvet $0$).
- Tüm kuvvetler ($4, 2, 1, 0$) doğal sayılardır.
- Değişken paydada, kök içinde veya mutlak değer içinde değildir.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom belirtir.
Cevap D seçeneğidir.
