Bir ikinci dereceden fonksiyonun diskriminantı sıfırdan küçükse, bu fonksiyonun sıfırları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) İki farklı reel sıfırı vardır
B) Bir tane reel sıfırı vardır
C) Reel sıfırı yoktur
D) Sonsuz sayıda sıfırı vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, ikinci dereceden bir fonksiyonun diskriminantının sıfırdan küçük olması durumunda, bu fonksiyonun sıfırları (kökleri) hakkında ne söyleyebileceğimizi adım adım inceleyeceğiz.
- Adım 1: İkinci Dereceden Fonksiyon ve Diskriminant Kavramını Hatırlayalım
- Bir ikinci dereceden fonksiyonun genel formu $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindedir (burada $a \neq 0$).
- Bu fonksiyonun sıfırları (kökleri), $f(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerleridir. Yani $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin çözümleridir.
- Bu denklemin köklerini bulmak için kullandığımız "İkinci Dereceden Denklem Formülü" şöyledir: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
- Bu formüldeki $\sqrt{b^2 - 4ac}$ ifadesinin içindeki $b^2 - 4ac$ kısmına "diskriminant" denir ve genellikle $\Delta$ (delta) sembolü ile gösterilir. Yani $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Adım 2: Diskriminantın Değerine Göre Köklerin (Sıfırların) Durumunu İnceleyelim
- Diskriminantın değeri, ikinci dereceden denklemin kaç tane ve ne tür köklere sahip olduğunu belirler. Üç ana durum vardır:
- Durum 1: Eğer $\Delta > 0$ (diskriminant sıfırdan büyükse), kök formülündeki $\sqrt{\Delta}$ ifadesi pozitif bir reel sayı olur. Bu durumda, $x = \frac{-b \pm \text{pozitif reel sayı}}{2a}$ şeklinde iki farklı reel kök (sıfır) elde ederiz.
- Durum 2: Eğer $\Delta = 0$ (diskriminant sıfıra eşitse), kök formülündeki $\sqrt{\Delta}$ ifadesi sıfır olur. Bu durumda, $x = \frac{-b \pm 0}{2a} = \frac{-b}{2a}$ şeklinde birbirine eşit iki reel kök (çakışık kök veya bir tane reel kök) elde ederiz.
- Durum 3: Eğer $\Delta < 0$ (diskriminant sıfırdan küçükse), kök formülündeki $\sqrt{\Delta}$ ifadesi, negatif bir sayının karekökünü almayı gerektirir. Reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir. Bu durumda, kökler karmaşık (kompleks) sayılar olur ve reel sıfır (reel kök) bulunmaz.
- Adım 3: Soruda Verilen Durumu Değerlendirelim
- Soru bize diskriminantın sıfırdan küçük olduğunu belirtiyor: $\Delta < 0$.
- Adım 2'deki incelememize göre, diskriminant sıfırdan küçük olduğunda, fonksiyonun reel sıfırları (reel kökleri) yoktur. Kökler karmaşık sayılardır.
- Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim
- A) İki farklı reel sıfırı vardır: Bu durum $\Delta > 0$ olduğunda geçerlidir. Yanlış.
- B) Bir tane reel sıfırı vardır: Bu durum $\Delta = 0$ olduğunda geçerlidir. Yanlış.
- C) Reel sıfırı yoktur: Bu durum $\Delta < 0$ olduğunda geçerlidir. Doğru.
- D) Sonsuz sayıda sıfırı vardır: İkinci dereceden bir fonksiyonun en fazla iki sıfırı olabilir. Yanlış.
Bu adımları takip ettiğimizde, diskriminant sıfırdan küçük olduğunda fonksiyonun reel sıfırı olmadığını açıkça görmüş oluruz.
Cevap C seçeneğidir.
