f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 fonksiyonu veriliyor. f(1) = 0 olduğuna göre, diğer sıfırları aşağıdakilerden hangisidir?
A) -2 ve 3Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir polinom fonksiyonunun bir sıfırı (kökü) verildiğinde diğer sıfırlarını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Bu tür problemler, polinomların çarpanlara ayrılması ve köklerinin bulunması konularını pekiştirmek için harika bir fırsattır.
Bize $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ fonksiyonu verilmiş ve $f(1) = 0$ olduğu belirtilmiştir. Bir polinom için $f(a) = 0$ olması, $x=a$ değerinin fonksiyonun bir sıfırı (kökü) olduğu ve $(x-a)$ ifadesinin fonksiyonun bir çarpanı olduğu anlamına gelir. Bu, Polinom Kök Teoremi'nin temel bir sonucudur.
Bu durumda, $f(1) = 0$ olduğu için $(x-1)$ ifadesi $f(x)$ fonksiyonunun bir çarpanıdır. Bu bilgiyi kullanarak fonksiyonu daha basit çarpanlara ayırabiliriz.
Fonksiyonun diğer çarpanlarını bulmak için $f(x)$ polinomunu $(x-1)$ çarpanına bölmemiz gerekir. Bu işlemi sentetik bölme (Horner metodu) ile kolayca yapabiliriz. Sentetik bölme, polinom bölmesini daha hızlı ve düzenli bir şekilde yapmamızı sağlar.
Sentetik bölme adımları şöyledir:
Bölenin kökü $1$'dir. Polinomun katsayıları sırasıyla $1$ ( $x^3$ için), $-2$ ( $x^2$ için), $-5$ ( $x$ için) ve $6$ (sabit terim için) şeklindedir.
İlk katsayı olan $1$'i aşağı indiririz. Bu $1$'i bölenin kökü olan $1$ ile çarparız ($1 \times 1 = 1$). Çıkan sonucu bir sonraki katsayı olan $-2$'nin altına yazarız ve toplarız ($-2 + 1 = -1$).
Yeni sonuç olan $-1$'i tekrar bölenin kökü olan $1$ ile çarparız ($-1 \times 1 = -1$). Çıkan sonucu bir sonraki katsayı olan $-5$'in altına yazarız ve toplarız ($-5 + (-1) = -6$).
Yeni sonuç olan $-6$'yı tekrar bölenin kökü olan $1$ ile çarparız ($-6 \times 1 = -6$). Çıkan sonucu son katsayı olan $6$'nın altına yazarız ve toplarız ($6 + (-6) = 0$).
Sonuç olarak, kalan $0$ ve bölümün katsayıları sırasıyla $1, -1, -6$ olur. Bu katsayılar, orijinal polinomun derecesinden bir düşük olan yeni bir polinomu temsil eder. Yani, bölüm $x^2 - x - 6$ olur.
Böylece, $f(x)$ fonksiyonunu çarpanlarına ayırmış olduk: $f(x) = (x-1)(x^2 - x - 6)$.
Şimdi elimizde $x^2 - x - 6$ şeklinde ikinci dereceden bir ifade var. Bu ifadenin sıfırlarını bulmak için denklemi $x^2 - x - 6 = 0$ şeklinde çözeriz. Bunu çarpanlara ayırarak yapabiliriz. Amacımız, çarpımları $-6$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı bulmaktır. Bu sayılar $-3$ ve $2$'dir.
Dolayısıyla, $x^2 - x - 6$ ifadesini $(x-3)(x+2)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
Artık fonksiyonun tüm çarpanlarını biliyoruz: $f(x) = (x-1)(x-3)(x+2)$.
Fonksiyonun sıfırları, her bir çarpanı sıfıra eşitlediğimizde bulduğumuz $x$ değerleridir:
Birinci çarpan: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (Bu zaten bize verilen sıfırdı.)
İkinci çarpan: $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Üçüncü çarpan: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Böylece, fonksiyonun diğer sıfırları $3$ ve $-2$ olarak bulunur.
Bu sonuç, seçenekler arasında A) -2 ve 3 ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
