Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Nasıl Belirlenir? Örnekler ve konu özeti Test 1

Bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi [-2, 3] kapalı aralığı ve fonksiyon f(x) = 3x - 1 şeklinde verilmiştir. Bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-7, 8]
B) [-5, 6]
C) [-3, 4]
D) [-1, 2]

Bu soruyu çözmek için, doğrusal bir fonksiyonun tanım kümesi verildiğinde görüntü kümesini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim.

• Fonksiyonu ve Tanım Kümesini Anlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 3x - 1$ şeklinde bir doğrusal fonksiyondur. Doğrusal fonksiyonlar, grafikleri bir doğru oluşturan fonksiyonlardır. Tanım kümesi ise $x$ değerlerinin alabileceği aralığı gösterir ve burada $[-2, 3]$ kapalı aralığı olarak verilmiştir. Bu, $x$ değerlerinin $-2$ ile $3$ arasında, bu sayılar dahil olmak üzere tüm gerçek sayıları alabileceği anlamına gelir.

• Doğrusal Fonksiyonların Özelliği:

  Doğrusal fonksiyonlar ya sürekli artan ya da sürekli azalan fonksiyonlardır. Bu özellik, tanım kümesinin uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin, görüntü kümesinin de uç noktalarını vereceği anlamına gelir. Yani, tanım kümesinin en küçük değeri, görüntü kümesinin en küçük veya en büyük değerini; tanım kümesinin en büyük değeri ise görüntü kümesinin diğer uç değerini verir.

• Fonksiyonun Artan mı Azalan mı Olduğunu Belirleyelim:

  Bir doğrusal fonksiyon olan $f(x) = ax + b$ şeklinde bir fonksiyonda, $a$ katsayısı (eğim) fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu belirler. Eğer $a > 0$ ise fonksiyon artandır, eğer $a < 0$ ise fonksiyon azalandır.

  Bizim fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 1$ olduğundan, $a = 3$'tür. $3 > 0$ olduğu için bu fonksiyon artan bir fonksiyondur.

• Görüntü Kümesinin Uç Noktalarını Bulalım:

  Fonksiyon artan olduğu için, tanım kümesinin en küçük değeri ($x_{min}$) görüntü kümesinin en küçük değerini ($f(x_{min})$) verecek, tanım kümesinin en büyük değeri ($x_{max}$) ise görüntü kümesinin en büyük değerini ($f(x_{max})$) verecektir.

  • Tanım kümesinin en küçük değeri $x = -2$'dir. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
  • $f(-2) = 3 \cdot (-2) - 1 = -6 - 1 = -7$. Bu, görüntü kümesinin en küçük değeridir.
  • Tanım kümesinin en büyük değeri $x = 3$'tür. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
  • $f(3) = 3 \cdot (3) - 1 = 9 - 1 = 8$. Bu, görüntü kümesinin en büyük değeridir.

• Görüntü Kümesini Belirleyelim:

  Tanım kümesi kapalı bir aralık olduğu ve fonksiyon sürekli olduğu için, görüntü kümesi de kapalı bir aralık olacaktır. Bulduğumuz en küçük ve en büyük değerleri kullanarak görüntü kümesini yazabiliriz.

  Görüntü kümesi: $[-7, 8]$.

Cevap A seçeneğidir.