9. Sınıf Dik Üçgen Nedir? Örnek test soruları Test 1

Koordinat düzleminde A(2,3), B(2,7) ve C(6,3) noktaları veriliyor. ABC üçgeni için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Eşkenar üçgendir
B) Dik üçgendir
C) Geniş açılı üçgendir
D) İkizkenar üçgendir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen üç noktanın oluşturduğu üçgenin türünü belirleyeceğiz. Bir üçgenin türünü belirlemek için genellikle kenar uzunluklarını ve açılarının özelliklerini inceleriz. Kenar uzunluklarını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

• 1. Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:

  Verilen noktalar: $A(2,3)$, $B(2,7)$ ve $C(6,3)$.

  • AB kenarının uzunluğu: $A(2,3)$ ve $B(2,7)$ noktaları arasındaki uzaklık.

    $AB = \sqrt{(2-2)^2 + (7-3)^2}$

    $AB = \sqrt{(0)^2 + (4)^2}$

    $AB = \sqrt{0 + 16}$

    $AB = \sqrt{16}$

    $AB = 4$ birim.

    (Dikkat: A ve B noktalarının x koordinatları aynı olduğu için AB kenarı dikey bir doğru parçasıdır.)

  • BC kenarının uzunluğu: $B(2,7)$ ve $C(6,3)$ noktaları arasındaki uzaklık.

    $BC = \sqrt{(6-2)^2 + (3-7)^2}$

    $BC = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$

    $BC = \sqrt{16 + 16}$

    $BC = \sqrt{32}$ birim.

  • AC kenarının uzunluğu: $A(2,3)$ ve $C(6,3)$ noktaları arasındaki uzaklık.

    $AC = \sqrt{(6-2)^2 + (3-3)^2}$

    $AC = \sqrt{(4)^2 + (0)^2}$

    $AC = \sqrt{16 + 0}$

    $AC = \sqrt{16}$

    $AC = 4$ birim.

    (Dikkat: A ve C noktalarının y koordinatları aynı olduğu için AC kenarı yatay bir doğru parçasıdır.)

• 2. Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım:

  Kenar uzunluklarımız: $AB = 4$, $AC = 4$ ve $BC = \sqrt{32}$.

  Gördüğümüz gibi, $AB$ ve $AC$ kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir ($4$ birim). Bu durumda, ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

• 3. Dik Üçgen Olup Olmadığını Kontrol Edelim (Pisagor Teoremi):

  Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor teoremini kullanabiliriz: $a^2 + b^2 = c^2$. Burada $c$ en uzun kenardır.

  Kenar uzunluklarımızın karelerini alalım:

  • $AB^2 = 4^2 = 16$
  • $AC^2 = 4^2 = 16$
  • $BC^2 = (\sqrt{32})^2 = 32$

  En uzun kenar $BC$ olduğu için, $AB^2 + AC^2 = BC^2$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

  $16 + 16 = 32$

  $32 = 32$

  Eşitlik sağlandığı için, ABC üçgeni bir dik üçgendir. Dik açı, en uzun kenar olan BC'nin karşısındaki A köşesindedir.

  (Ek bilgi: AB kenarı dikey, AC kenarı yatay olduğu için bu iki kenar A noktasında birbirine diktir. Bu da direkt olarak A açısının $90^\circ$ olduğunu gösterir.)

• 4. Sonuç:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, ABC üçgeninin hem ikizkenar hem de dik üçgen olduğunu bulduk. Seçeneklere baktığımızda, "Dik üçgendir" (B seçeneği) ve "İkizkenar üçgendir" (D seçeneği) şıkları bulunmaktadır. Bir üçgen hem ikizkenar hem de dik üçgen olabilir. Ancak, genellikle bir üçgenin en belirgin özelliği sorulduğunda, dik açılı olması daha özel bir sınıflandırma olarak kabul edilir. Bu durumda, en doğru ve kapsayıcı ifade "Dik üçgendir" olacaktır.

Cevap B seçeneğidir.