Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğu diğerinin 3 katıdır. Hipotenüsün uzunluğu 10√10 cm olduğuna göre, kısa dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
A) 10Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi ve Pisagor Teoremi'ni kullanarak kısa dik kenarın uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir dik üçgenimiz var. Dik kenarlardan biri diğerinin 3 katıymış. Kısa dik kenara bir isim verelim. Diyelim ki kısa dik kenarın uzunluğu $x$ cm olsun. O zaman uzun dik kenarın uzunluğu $3x$ cm olacaktır.
Hipotenüsün uzunluğu ise bize $10\sqrt{10}$ cm olarak verilmiş.
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Yani, eğer dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise, formülümüz şöyledir: $a^2 + b^2 = c^2$.
Bizim üçgenimizde:
Kısa dik kenar ($a$) = $x$
Uzun dik kenar ($b$) = $3x$
Hipotenüs ($c$) = $10\sqrt{10}$
Şimdi bu değerleri Pisagor Teoremi formülüne yerleştirelim:
$(x)^2 + (3x)^2 = (10\sqrt{10})^2$
Denklemimizi adım adım basitleştirelim ve $x$ değerini bulalım:
$x^2 + (3x)^2 = (10\sqrt{10})^2$
$x^2 + 9x^2 = 10^2 \times (\sqrt{10})^2$ (Unutmayın, $(3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2$ ve $(10\sqrt{10})^2 = 10^2 \times (\sqrt{10})^2$)
$10x^2 = 100 \times 10$
$10x^2 = 1000$
Şimdi her iki tarafı 10'a bölelim:
$x^2 = \frac{1000}{10}$
$x^2 = 100$
$x$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$x = \sqrt{100}$
$x = 10$
Uzunluk negatif olamayacağı için $x = 10$ değerini alırız.
Biz kısa dik kenarın uzunluğuna $x$ demiştik ve $x$'i 10 olarak bulduk. Yani kısa dik kenarın uzunluğu 10 cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
