K = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 28
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir kümenin alt kümeleri arasından belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: K kümesini ve elemanlarını inceleyelim.
- Verilen küme $K = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir.
- Bu kümede toplam $5$ eleman bulunmaktadır.
- Kümedeki çift sayılar: $\{2, 4\}$
- Kümedeki tek sayılar: $\{1, 3, 5\}$
- 2. Adım: K kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını bulalım.
- Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, o kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur.
- $K$ kümesinin $5$ elemanı olduğu için ($n=5$), toplam alt küme sayısı $2^5 = 32$'dir.
- 3. Adım: Hiç çift sayı içermeyen alt kümelerin sayısını bulalım.
- Soruda "en az bir çift sayı bulunan" alt kümeler sorulduğu için, tüm alt kümelerden "hiç çift sayı içermeyen" alt kümeleri çıkarmak daha kolay bir yöntemdir.
- Hiç çift sayı içermeyen alt kümeler, sadece $K$ kümesindeki tek sayılar kullanılarak oluşturulabilir.
- Tek sayılar kümesi $T = \{1, 3, 5\}$'tir. Bu kümenin eleman sayısı $3$'tür.
- Bu durumda, hiç çift sayı içermeyen alt küme sayısı $2^3 = 8$'dir. (Bu alt kümeler: $\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1,3\}, \{1,5\}, \{3,5\}, \{1,3,5\}$)
- 4. Adım: En az bir çift sayı içeren alt kümelerin sayısını bulalım.
- En az bir çift sayı içeren alt kümelerin sayısını bulmak için, toplam alt küme sayısından hiç çift sayı içermeyen alt kümelerin sayısını çıkarırız.
- En az bir çift sayı içeren alt kümeler = (Toplam alt kümeler) - (Hiç çift sayı içermeyen alt kümeler)
- $= 32 - 8 = 24$
Bu durumda, $K = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin alt kümelerinin $24$ tanesinde en az bir çift sayı bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
