35 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır. Her iki dili bilen 5 kişi, hiç dil bilmeyen 10 kişi olduğuna göre, yalnız Fransızca bilen kaç kişi vardır?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir sınıftaki dil bilen öğrenci sayılarını adım adım bulacağız. Sakin olun ve her adımı dikkatlice takip edin!
Sınıfımızda toplam 35 öğrenci var. Bu öğrencilerden 10 tanesi hiçbir dil bilmiyor. Bu durumda, en az bir dil bilen öğrenci sayısını bulmak için toplam öğrenci sayısından hiç dil bilmeyenleri çıkarırız:
En az bir dil bilen öğrenci sayısı = Toplam öğrenci sayısı - Hiç dil bilmeyen öğrenci sayısı
En az bir dil bilen öğrenci sayısı = $35 - 10 = 25$ kişi.
Bu 25 kişi, İngilizce bilenler, Fransızca bilenler veya her iki dili bilenlerden oluşuyor.
Şimdi elimizdeki diğer bilgileri not alalım:
Her iki dili bilen kişi sayısı (İngilizce ve Fransızca) = 5 kişi.
İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır.
Bizden istenen: Yalnız Fransızca bilen kişi sayısı.
Bu tür problemler için kümelerden faydalanmak çok işimize yarar. İngilizce bilenlerin kümesini $E$, Fransızca bilenlerin kümesini $F$ olarak düşünelim.
O zaman, matematiksel olarak elimizdeki bilgiler şunlardır:
En az bir dil bilenler: $|E \cup F| = 25$
Her iki dili bilenler: $|E \cap F| = 5$
İngilizce bilenlerin toplam sayısı, Fransızca bilenlerin toplam sayısının 2 katı: $|E| = 2 \times |F|$
Aradığımız: Yalnız Fransızca bilenler ($|F \setminus E|$).
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını veren genel bir formülümüz var:
$|E \cup F| = |E| + |F| - |E \cap F|$
Bu formülde bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
$25 = |E| + |F| - 5$
Şimdi bu denklemi düzenleyelim:
$25 + 5 = |E| + |F|$
$30 = |E| + |F|$
Bu denklem bize İngilizce bilenlerin toplam sayısı ile Fransızca bilenlerin toplam sayısının $30$ olduğunu söylüyor.
Problemde bize verilen bir bilgi daha vardı: İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır. Yani, $|E| = 2 \times |F|$.
Bu bilgiyi bir önceki adımda bulduğumuz denkleme ($30 = |E| + |F|$) yerine yazalım:
$30 = (2 \times |F|) + |F|$
$30 = 3 \times |F|$
Şimdi $|F|$ değerini bulmak için her iki tarafı $3$'e bölelim:
$|F| = \frac{30}{3}$
$|F| = 10$ kişi.
Demek ki Fransızca bilen toplam öğrenci sayısı 10'dur.
Bizden istenen "yalnız Fransızca bilen" kişi sayısıdır. Fransızca bilen toplam 10 kişi olduğunu bulduk. Bu 10 kişinin içinde hem Fransızca hem de İngilizce bilen 5 kişi de var.
Yalnız Fransızca bilenler = Toplam Fransızca bilenler - Her iki dili bilenler
Yalnız Fransızca bilenler = $|F| - |E \cap F|$
Yalnız Fransızca bilenler = $10 - 5 = 5$ kişi.
İşte aradığımız cevap bu!
Cevap A seçeneğidir.
