Bir çiftçi bahçesindeki ağaçları sıralamak istiyor. Ağaç sayısı 120'den az olup hem 8 hem de 12 ile kalansız bölünebiliyor. Buna göre bu çiftçinin bahçesinde en fazla kaç ağaç vardır?
A) 24Sevgili öğrenciler, bu problemde çiftçinin bahçesindeki ağaç sayısını bulmak için hem 8 hem de 12 ile kalansız bölünebilen ve 120'den az olan en büyük sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu tür problemlerde "ortak katlar" kavramı bize yol gösterecektir.
Adım 1: Problemi Anlamak ve Anahtar Kavramları Belirlemek
Soruda verilen bilgilere göre, ağaç sayısı iki önemli koşulu sağlamalıdır:
Ağaç sayısı hem $8$ ile hem de $12$ ile kalansız bölünebilmelidir. Bu, ağaç sayısının $8$ ve $12$'nin bir ortak katı olması gerektiği anlamına gelir.
Ağaç sayısı $120$'den az olmalıdır.
Bizden istenen ise bu koşulları sağlayan en fazla kaç ağaç olduğudur.
Adım 2: $8$ ve $12$'nin En Küçük Ortak Katını (EKOK) Bulmak
Ağaç sayısı hem $8$'in hem de $12$'nin katı olacağı için, öncelikle bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, her iki sayının da bölünebildiği en küçük pozitif sayıdır.
Yöntem 1: Katları Listeleyerek
$8$'in katları: $8, 16, 24, 32, 40, 48, ...$
$12$'nin katları: $12, 24, 36, 48, ...$
Gördüğümüz gibi, $8$ ve $12$'nin en küçük ortak katı $24$'tür. Yani, EKOK $ (8, 12) = 24 $.
Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırarak
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üssünü alırız: $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$.
Her iki yöntemle de EKOK'un $24$ olduğunu bulduk. Bu, ağaç sayısının $24$'ün katı olması gerektiği anlamına gelir.
Adım 3: $24$'ün $120$'den Küçük Katlarını Listelemek
Şimdi $24$'ün katlarını listeleyelim ve $120$'den küçük olanları belirleyelim:
$24 \times 1 = 24$
$24 \times 2 = 48$
$24 \times 3 = 72$
$24 \times 4 = 96$
$24 \times 5 = 120$
Soruda ağaç sayısının $120$'den az olması gerektiği belirtildiği için, $120$ sayısını dahil edemeyiz.
Adım 4: En Fazla Ağaç Sayısını Belirlemek
$120$'den küçük olan $24$'ün katları şunlardır: $24, 48, 72, 96$.
Bu sayılar arasında en büyük olanı $96$'dır.
Bu durumda, çiftçinin bahçesinde en fazla $96$ ağaç olabilir.
Cevap C seçeneğidir.
