Bir öğrenci \( 2^5 + 2^3 \) işlemini \( 2^8 \) olarak hesaplamıştır. Bu öğrencinin yaptığı hata aşağıdaki kurallardan hangisini yanlış uyguladığını gösterir?
A) Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır
B) Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır
C) Tabanları aynı olan üslü sayılar toplanırken üsler toplanmaz
D) Üslü sayıların kuvveti alınırken üsler çarpılır
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir arkadaşımızın üslü sayılarla ilgili yaptığı bir hatayı inceleyeceğiz. Amacımız, bu hatanın hangi kuralın yanlış uygulanmasından kaynaklandığını anlamak.
- Öğrencinin yaptığı işlem: $2^5 + 2^3$ işlemini $2^8$ olarak hesaplamıştır.
- Şimdi bu işlemi adım adım doğru bir şekilde yapalım:
- Önce üslü sayıların değerlerini bulalım:
- $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
- $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- Şimdi bu değerleri toplayalım: $32 + 8 = 40$.
- Yani, doğru sonuç $40$'tır.
- Öğrencinin bulduğu sonuç ise $2^8$'di. $2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$.
- Gördüğümüz gibi, $40 \neq 256$. Öğrenci bir hata yapmıştır.
- Öğrenci, $2^5 + 2^3$ işleminde üsleri toplamış ($5+3=8$) ve sonucu $2^8$ olarak bulmuştur. Bu, üslerin toplandığı bir kuralı hatırlattı.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: Bu kural $a^m \times a^n = a^{m+n}$ şeklindedir. Örneğin, $2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$. Öğrenci bu kuralı biliyor gibi görünse de, onu toplama işlemi yerine yanlışlıkla uygulamıştır. Yani, çarpma kuralını toplamaya uygulamıştır.
- B) Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır: Bu kural $a^m \div a^n = a^{m-n}$ şeklindedir. Bu kural, öğrencinin yaptığı hatayla doğrudan ilgili değildir.
- C) Tabanları aynı olan üslü sayılar toplanırken üsler toplanmaz: Bu kural, $a^m + a^n \neq a^{m+n}$ olduğunu belirtir. Öğrenci, $2^5 + 2^3$ işleminde üsleri toplayarak ($5+3=8$) $2^8$ sonucunu bulmuştur. Bu, tam olarak bu kuralın ihlalidir. Yani öğrenci, üslü sayılar toplanırken üslerin toplanmaması gerektiğini göz ardı etmiştir. Bu kuralı yanlış uygulamıştır veya bu kuralı bilmemektedir.
- D) Üslü sayıların kuvveti alınırken üsler çarpılır: Bu kural $(a^m)^n = a^{m \times n}$ şeklindedir. Örneğin, $(2^5)^3 = 2^{5 \times 3} = 2^{15}$. Bu kural da öğrencinin yaptığı hatayla doğrudan ilgili değildir.
- Öğrencinin hatası, toplama işleminde üsleri toplamasıdır. Bu durum, "Tabanları aynı olan üslü sayılar toplanırken üsler toplanmaz" kuralını yanlış uyguladığını veya bu kuralı bilmediğini gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
