Grad nedir Test 1

Bir dağcı, z = f(x,y) = 1000 - x² - 2y² denklemiyle verilen dağ yüzeyinde (10,10) noktasında bulunuyor.
Hangi yönde ilerlerse en hızlı yükselir?

A) (1,2) yönünde
B) (-20,-40) yönünde
C) (20,40) yönünde
D) (10,10) yönünde

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dağcının dağ yüzeyinde belirli bir noktada bulunurken en hızlı hangi yönde yükseleceğini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, çok değişkenli fonksiyonların en hızlı artış yönünü bulmak için kullanılan "gradyan" kavramıyla çözülür. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Problemi Anlama ve Temel Kavram:

  Dağ yüzeyi $z = f(x,y) = 1000 - x^2 - 2y^2$ denklemiyle verilmiş. Dağcı $(10,10)$ noktasında bulunuyor. Bir fonksiyonun en hızlı artış yönü, o fonksiyonun gradyan vektörü ($\nabla f$) tarafından verilir. Gradyan vektörü, fonksiyonun kısmi türevlerinden oluşur.

• 2. Kısmi Türevleri Hesaplama:

  Öncelikle, $f(x,y)$ fonksiyonunun $x$'e ve $y$'ye göre kısmi türevlerini bulmalıyız.

  • $x$'e göre kısmi türev ($\frac{\partial f}{\partial x}$): $y$ sabit kabul edilir.

  $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (1000 - x^2 - 2y^2) = 0 - 2x - 0 = -2x$

  • $y$'ye göre kısmi türev ($\frac{\partial f}{\partial y}$): $x$ sabit kabul edilir.

  $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (1000 - x^2 - 2y^2) = 0 - 0 - 4y = -4y$

• 3. Gradyan Vektörünü Oluşturma:

  Gradyan vektörü $\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$ şeklinde ifade edilir.

  Bu durumda, $\nabla f(x,y) = (-2x, -4y)$ olur.

• 4. Belirtilen Noktada Gradyan Vektörünü Hesaplama:

  Dağcı $(10,10)$ noktasında bulunduğuna göre, bu noktadaki gradyan vektörünü bulmak için $x=10$ ve $y=10$ değerlerini gradyan vektörüne yerleştirmeliyiz.

  • $\frac{\partial f}{\partial x} \Big|_{(10,10)} = -2(10) = -20$
  • $\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(10,10)} = -4(10) = -40$

  Böylece, $(10,10)$ noktasındaki gradyan vektörü $\nabla f(10,10) = (-20, -40)$ olarak bulunur.

• 5. Sonucu Yorumlama ve Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Gradyan vektörü $(-20, -40)$, dağcının $(10,10)$ noktasında en hızlı yükseleceği yönü gösterir.

  Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $(1,2)$
  • B) $(-20,-40)$
  • C) $(20,40)$
  • D) $(10,10)$

  Hesapladığımız gradyan vektörü, B seçeneğindeki yön vektörü ile birebir aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.