f(x,y,z) = x² + y² + z² fonksiyonunun (1,2,2) noktasındaki gradyan vektörünün büyüklüğü kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çok değişkenli bir fonksiyonun belirli bir noktadaki gradyan vektörünün büyüklüğünü bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu kavramı daha iyi anlayalım ve soruyu çözelim.
- 1. Adım: Gradyan Vektörünü Tanımlama
- Bir $f(x,y,z)$ fonksiyonunun gradyan vektörü, fonksiyonun her bir değişkene göre kısmi türevlerinden oluşan bir vektördür. Bu vektör, fonksiyonun en hızlı arttığı yönü ve bu artışın oranını gösterir. Matematiksel olarak $\nabla f$ ile gösterilir ve şu şekilde ifade edilir:
$\nabla f(x,y,z) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$
- 2. Adım: Fonksiyonun Kısmi Türevlerini Hesaplama
- Verilen fonksiyon $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$. Şimdi bu fonksiyonun her bir değişkene göre kısmi türevlerini bulalım:
- $x$'e göre kısmi türev: $y$ ve $z$ sabit kabul edilir.
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2) = 2x$
- $y$'ye göre kısmi türev: $x$ ve $z$ sabit kabul edilir.
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 + z^2) = 2y$
- $z$'ye göre kısmi türev: $x$ ve $y$ sabit kabul edilir.
$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2) = 2z$
- 3. Adım: Gradyan Vektörünü Oluşturma
- Bulduğumuz kısmi türevleri kullanarak gradyan vektörünü yazalım:
$\nabla f(x,y,z) = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$
- 4. Adım: Gradyan Vektörünü Belirtilen Noktada Değerlendirme
- Soruda verilen nokta $(1,2,2)$'dir. Bu noktadaki gradyan vektörünü bulmak için $x=1$, $y=2$ ve $z=2$ değerlerini gradyan vektörüne yerleştirelim:
$\nabla f(1,2,2) = \langle 2(1), 2(2), 2(2) \rangle = \langle 2, 4, 4 \rangle$
- 5. Adım: Gradyan Vektörünün Büyüklüğünü Hesaplama
- Bir $\vec{v} = \langle a, b, c \rangle$ vektörünün büyüklüğü (normu), $||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ formülüyle hesaplanır. Bizim gradyan vektörümüz $\nabla f(1,2,2) = \langle 2, 4, 4 \rangle$ olduğuna göre, büyüklüğü şu şekilde bulunur:
$||\nabla f(1,2,2)|| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2}$
$||\nabla f(1,2,2)|| = \sqrt{4 + 16 + 16}$
$||\nabla f(1,2,2)|| = \sqrt{36}$
$||\nabla f(1,2,2)|| = 6$
Buna göre, fonksiyonun $(1,2,2)$ noktasındaki gradyan vektörünün büyüklüğü $6$'dır.
Cevap B seçeneğidir.
