Bir polinomun türevini bulmak için her terimin ayrı ayrı türevini alırız. Temel türev alma kurallarını hatırlayalım:
- Kuvvet Kuralı: Eğer $g(x) = ax^n$ ise, $g'(x) = n \cdot ax^{n-1}$ olur.
- Sabit Kuralı: Bir sabitin türevi sıfırdır. Yani, $g(x) = c$ ise, $g'(x) = 0$ olur.
- Toplam/Fark Kuralı: Bir fonksiyon birden fazla terimin toplamı veya farkı şeklinde ise, her terimin ayrı ayrı türevini alıp toplar veya çıkarırız.
Şimdi verilen $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$ polinomunun türevini adım adım bulalım:
- Birinci terim ($2x^3$): Kuvvet kuralını uygulayalım. $n=3$ ve $a=2$. Türevi $3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2$ olur.
- İkinci terim ($-5x^2$): Kuvvet kuralını uygulayalım. $n=2$ ve $a=-5$. Türevi $2 \cdot (-5)x^{2-1} = -10x$ olur.
- Üçüncü terim ($3x$): Kuvvet kuralını uygulayalım. $n=1$ ve $a=3$. Türevi $1 \cdot 3x^{1-1} = 3x^0 = 3 \cdot 1 = 3$ olur.
- Dördüncü terim ($-7$): Bu bir sabit sayıdır. Sabit sayının türevi $0$ olur.
Bu terimlerin türevlerini bir araya getirdiğimizde, $f(x)$ polinomunun türevi olan $f'(x)$ fonksiyonunu buluruz:
- $f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 + 0$
- $f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$
Şimdi bizden istenen, bu türev fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki değeridir. Bunun için $f'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazmalıyız:
- $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3$
- Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $2^2 = 4$.
- $f'(2) = 6(4) - 10(2) + 3$
- Çarpma işlemlerini yapalım: $6 \cdot 4 = 24$ ve $10 \cdot 2 = 20$.
- $f'(2) = 24 - 20 + 3$
- Şimdi toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: $24 - 20 = 4$.
- $f'(2) = 4 + 3$
- $f'(2) = 7$
Buna göre, polinomun $x=2$ noktasındaki türevinin değeri $7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
