10. Sınıf Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı Test 1

\(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun \(x = 2\) noktasındaki limit değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0
B) 2
C) 4
D) Tanımsız

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limit değerini bulmamız isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ve $x = 2$ noktasındaki limitini arıyoruz.

• Adım 1: Fonksiyonda doğrudan yerine koyma denemesi yapalım.

• Eğer $x = 2$ değerini doğrudan fonksiyona yerleştirirsek:

  $f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$

  Bu durum, matematikte belirsiz form olarak adlandırılır. $\frac{0}{0}$ belirsizliği, limitin var olabileceğini ancak fonksiyonu sadeleştirmemiz gerektiğini gösterir. Bu, fonksiyonun $x=2$ noktasında tanımlı olmadığı anlamına gelir, ancak limitin var olup olmadığını anlamak için daha fazla işlem yapmalıyız.

• Adım 2: Fonksiyonu sadeleştirelim.

• Pay kısmındaki ifadeye dikkat edelim: $x^2 - 4$. Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğidir. Yani $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ kuralını kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz. Burada $a = x$ ve $b = 2$ olduğu için:

  $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

  Şimdi bu ifadeyi fonksiyonumuzda yerine yazalım:

  $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

• Adım 3: Ortak terimleri sadeleştirelim.

• Limit alırken, $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor demektir, tam olarak $2$ değildir. Bu yüzden $x - 2 \neq 0$ kabul edebiliriz. Bu durumda pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $f(x) = \frac{\cancel{(x - 2)}(x + 2)}{\cancel{(x - 2)}}$

  Böylece fonksiyonumuz $x \neq 2$ için şu hale gelir:

  $f(x) = x + 2$

• Adım 4: Sadeleştirilmiş fonksiyonun limitini bulalım.

• Artık sadeleştirilmiş fonksiyonumuz $f(x) = x + 2$ olduğu için, $x \to 2$ limitini doğrudan yerine koyarak bulabiliriz:

  $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2)$

  Şimdi $x$ yerine $2$ yazalım:

  $2 + 2 = 4$

  Bu durumda, fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki limit değeri $4$'tür.

Cevap C seçeneğidir.