Aşağıdaki iki veri setinden hangisinin standart sapması daha büyüktür?
Set 1: 10, 20, 30, 40, 50
Set 2: 25, 25, 25, 25, 25
A) Set 1
B) Set 2
C) İkisinin de standart sapması eşittir
D) Hesaplanmadan bilinemez
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı veri setinin standart sapmalarını karşılaştırmamız isteniyor. Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren önemli bir istatistiksel ölçüdür. Standart sapma ne kadar büyükse, veriler ortalamadan o kadar uzakta ve dağınıktır. Standart sapma ne kadar küçükse, veriler ortalamaya o kadar yakın ve yoğundur. Eğer tüm veriler aynıysa, standart sapma sıfır olur, çünkü hiçbir sapma yoktur.
Şimdi adım adım her iki veri setinin standart sapmasını hesaplayalım ve karşılaştıralım:
- Standart Sapma Formülü:
- Önce aritmetik ortalama ($\mu$) bulunur: $\mu = \frac{\sum x_i}{N}$
- Her bir veri noktasının ortalamadan farkı alınır ve karesi bulunur: $(x_i - \mu)^2$
- Bu karelerin toplamı bulunur: $\sum (x_i - \mu)^2$
- Bu toplam, veri sayısına ($N$) bölünerek varyans ($\sigma^2$) bulunur: $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$
- Varyansın karekökü alınarak standart sapma ($\sigma$) bulunur: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}$
- Set 1: 10, 20, 30, 40, 50
- Adım 1: Ortalamayı ($\mu_1$) Bulalım.
- $\mu_1 = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \frac{150}{5} = 30$
- Adım 2: Her Bir Verinin Ortalamadan Farkının Karesini Bulalım.
- $(10 - 30)^2 = (-20)^2 = 400$
- $(20 - 30)^2 = (-10)^2 = 100$
- $(30 - 30)^2 = (0)^2 = 0$
- $(40 - 30)^2 = (10)^2 = 100$
- $(50 - 30)^2 = (20)^2 = 400$
- Adım 3: Karelerin Toplamını Bulalım.
- $\sum (x_i - \mu_1)^2 = 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000$
- Adım 4: Varyansı ($\sigma_1^2$) Bulalım.
- $\sigma_1^2 = \frac{1000}{5} = 200$
- Adım 5: Standart Sapmayı ($\sigma_1$) Bulalım.
- $\sigma_1 = \sqrt{200} \approx 14.14$
- Set 2: 25, 25, 25, 25, 25
- Adım 1: Ortalamayı ($\mu_2$) Bulalım.
- $\mu_2 = \frac{25 + 25 + 25 + 25 + 25}{5} = \frac{125}{5} = 25$
- Adım 2: Her Bir Verinin Ortalamadan Farkının Karesini Bulalım.
- $(25 - 25)^2 = (0)^2 = 0$
- $(25 - 25)^2 = (0)^2 = 0$
- $(25 - 25)^2 = (0)^2 = 0$
- $(25 - 25)^2 = (0)^2 = 0$
- $(25 - 25)^2 = (0)^2 = 0$
- Adım 3: Karelerin Toplamını Bulalım.
- $\sum (x_i - \mu_2)^2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$
- Adım 4: Varyansı ($\sigma_2^2$) Bulalım.
- $\sigma_2^2 = \frac{0}{5} = 0$
- Adım 5: Standart Sapmayı ($\sigma_2$) Bulalım.
- $\sigma_2 = \sqrt{0} = 0$
- Karşılaştırma:
- Set 1'in standart sapması $\sigma_1 \approx 14.14$
- Set 2'nin standart sapması $\sigma_2 = 0$
- Gördüğümüz gibi, Set 1'in standart sapması (yaklaşık 14.14), Set 2'nin standart sapmasından (0) daha büyüktür. Bu durum, Set 1'deki verilerin ortalamadan daha fazla sapma gösterdiğini, yani daha dağınık olduğunu açıkça ortaya koymaktadır. Set 2'deki tüm değerler aynı olduğu için, ortalamadan hiçbir sapma yoktur ve standart sapması sıfırdır.
Cevap A seçeneğidir.
