Bir cisim düzgün çembersel hareket yaparken açısal hızı ω, yörünge yarıçapı r'dir. Cismin merkezcil ivmesi için aşağıdaki formüllerden hangisi doğrudur?
A) a = ω/rDüzgün çembersel hareket yapan bir cismin merkezcil ivmesini bulmak için adım adım ilerleyelim:
Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin hızı, büyüklüğü sabit kalsa da yönü sürekli değişir. Hızdaki bu yön değişimi bir ivme gerektirir. Bu ivmeye merkezcil ivme denir ve her zaman çemberin merkezine doğrudur. Merkezcil ivme, cismin yörüngede kalmasını sağlayan kuvvete (merkezcil kuvvet) neden olur.
Bir cismin çembersel yörüngedeki çizgisel hızı ($v$), açısal hızı ($\omega$) ve yörünge yarıçapı ($r$) arasında bir ilişki vardır. Açısal hız, birim zamanda taranan açı miktarıdır. Çizgisel hız ise birim zamanda kat edilen yörünge uzunluğudur. Bu iki hız arasındaki ilişki şu formülle verilir:
$v = \omega \cdot r$
Burada $v$ çizgisel hız (m/s), $\omega$ açısal hız (rad/s) ve $r$ yörünge yarıçapıdır (m).
Merkezcil ivmenin ($a$) çizgisel hız ($v$) ve yörünge yarıçapı ($r$) cinsinden temel formülü şöyledir:
$a = \frac{v^2}{r}$
Şimdi, merkezcil ivme formülündeki çizgisel hız ($v$) yerine, açısal hız ve yarıçap cinsinden ifadesini ($v = \omega \cdot r$) koyalım:
$a = \frac{(\omega \cdot r)^2}{r}$
Parantezi açarsak:
$a = \frac{\omega^2 \cdot r^2}{r}$
Pay ve paydadaki $r$ terimlerini sadeleştirelim:
$a = \omega^2 \cdot r$
Bu türetme sonucunda, cismin merkezcil ivmesinin açısal hızı ($\omega$) ve yörünge yarıçapı ($r$) cinsinden $a = \omega^2 \cdot r$ formülüyle ifade edildiğini buluruz.
Bu formül, verilen seçenekler arasında D seçeneği ile aynıdır.
Cevap D seçeneğidir.
