Eylemsizlik momenti nelere bağlıdır Test 1

Kütlesi $m$, uzunluğu $L$ olan homojen bir çubuğun, bir ucundan geçen dik eksen etrafındaki eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{3}mL^2$'dir. Aynı çubuğun ortasından geçen dik eksen etrafındaki eylemsizlik momenti nedir?

A) $\frac{1}{12}mL^2$
B) $\frac{1}{6}mL^2$
C) $\frac{1}{4}mL^2$
D) $\frac{1}{2}mL^2$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir çubuğun farklı eksenler etrafındaki eylemsizlik momentlerini karşılaştıracağız. Özellikle, bir ucundan geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti bilindiğinde, ortasından geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momentini bulmak için Paralel Eksen Teoremi'ni (Steiner Teoremi) kullanacağız. Bu teorem, bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti bilindiğinde, bu eksene paralel başka bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini bulmamızı sağlar.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize kütlesi $m$, uzunluğu $L$ olan homojen bir çubuk verilmiş. Homojen olması, kütle merkezinin çubuğun tam ortasında (geometrik merkezinde) olduğunu gösterir.

  Çubuğun bir ucundan geçen dik eksen etrafındaki eylemsizlik momenti verilmiş: $I_{uç} = \frac{1}{3}mL^2$.

• 2. Ne Bulmamız Gerektiğini Belirleyelim:

  Aynı çubuğun ortasından (yani kütle merkezinden) geçen dik eksen etrafındaki eylemsizlik momentini bulmamız isteniyor. Buna $I_{merkez}$ diyelim.

• 3. Paralel Eksen Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Paralel Eksen Teoremi'ne göre, bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti $I_{CM}$ ise, bu eksene paralel ve ondan $d$ kadar uzakta olan başka bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti $I$ şu şekilde verilir:

  $I = I_{CM} + Md^2$

  Burada $M$ cismin toplam kütlesidir.

• 4. Teoremi Sorumuza Uygulayalım:

  Bizim durumumuzda:

  • $I_{CM}$ aradığımız $I_{merkez}$'dir.
  • $I$ ise verilen $I_{uç}$'tur.
  • Kütle merkezinden geçen eksen (çubuğun ortası) ile ucundan geçen eksen birbirine paraleldir.
  • Bu iki eksen arasındaki uzaklık $d$'yi bulmalıyız. Çubuğun uzunluğu $L$ olduğuna göre, ucundan kütle merkezine olan uzaklık $d = \frac{L}{2}$'dir.
  • Çubuğun kütlesi $m$'dir.

  Şimdi Paralel Eksen Teoremi'ni kullanarak denklemi yazalım:

  $I_{uç} = I_{merkez} + m d^2$

  Bilinen değerleri yerine koyalım:

  $\frac{1}{3}mL^2 = I_{merkez} + m \left(\frac{L}{2}\right)^2$

• 5. Denklemi Çözerek $I_{merkez}$'i Bulalım:

  Denklemi basitleştirelim:

  $\frac{1}{3}mL^2 = I_{merkez} + m \frac{L^2}{4}$

  $I_{merkez}$'i yalnız bırakmak için $m \frac{L^2}{4}$ terimini denklemin diğer tarafına atalım:

  $I_{merkez} = \frac{1}{3}mL^2 - \frac{1}{4}mL^2$

  Şimdi kesirleri çıkarmak için ortak paydayı bulalım. 3 ve 4'ün ortak katı 12'dir:

  $I_{merkez} = \frac{4}{12}mL^2 - \frac{3}{12}mL^2$

  $I_{merkez} = \frac{4-3}{12}mL^2$

  $I_{merkez} = \frac{1}{12}mL^2$

Böylece, çubuğun ortasından geçen dik eksen etrafındaki eylemsizlik momentini $\frac{1}{12}mL^2$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.