Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları Test 1

Bir bütçe planlamasında, gelir fonksiyonu G(x) = 5000 + 200x ve gider fonksiyonu M(x) = 3000 + 400x olarak verilmiştir. (x: ay sayısı) Kaçıncı aydan itibaren bütçe açığı oluşmaya başlar?

A) 6. ay
B) 8. ay
C) 10. ay
D) 11. ay

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir bütçe planlaması yapıyoruz ve gelir ile gider fonksiyonlarını kullanarak ne zaman bütçe açığı oluşacağını bulmaya çalışıyoruz. Bütçe açığı, giderlerin gelirlerden fazla olması durumudur. Haydi adım adım bu durumu inceleyelim!

• 1. Adım: Gelir ve Gider Fonksiyonlarını Anlayalım

  Bize verilen fonksiyonlar şunlar:

  • Gelir fonksiyonu: $G(x) = 5000 + 200x$
  • Gider fonksiyonu: $M(x) = 3000 + 400x$

  Burada $x$ ay sayısını temsil ediyor. Yani, her ay gelirimiz $200x$ kadar artarken, giderimiz $400x$ kadar artıyor. Başlangıçta (yani $x=0$ iken) gelirimiz 5000 TL, giderimiz ise 3000 TL'dir.

• 2. Adım: Bütçe Açığı Durumunu Matematiksel Olarak İfade Edelim

  Bütçe açığı oluşması demek, giderlerin gelirlerden fazla olması demektir. Yani, $M(x) > G(x)$ eşitsizliğini sağlamamız gerekiyor.

• 3. Adım: Eşitsizliği Kuralım ve Çözelim

  Şimdi verilen fonksiyonları eşitsizliğe yerleştirelim:

  $3000 + 400x > 5000 + 200x$

  Bu eşitsizliği çözmek için $x$'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:

  • Önce $200x$'i eşitsizliğin sol tarafına, $3000$'i ise sağ tarafına geçirelim. Geçirirken işaret değiştirmeyi unutmayalım:
  • $400x - 200x > 5000 - 3000$
  • Şimdi her iki tarafı da sadeleştirelim:
  • $200x > 2000$
  • Son olarak, $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $200$'e bölelim:
  • $x > \frac{2000}{200}$
  • $x > 10$
• 4. Adım: Sonucu Yorumlayalım

  Bulduğumuz $x > 10$ eşitsizliği bize şunu söylüyor: Ay sayısı $10$'dan büyük olduğu zaman bütçe açığı oluşmaya başlayacaktır. Yani, $10$. ayda gelir ve gider eşitlenirken, $10$. aydan sonraki ilk ay olan $11$. ayda giderler gelirleri geçmeye başlayacak ve bütçe açığı oluşacaktır.

  Kontrol edelim:

  • 10. ayda ($x=10$):
  • $G(10) = 5000 + 200(10) = 5000 + 2000 = 7000$ TL
  • $M(10) = 3000 + 400(10) = 3000 + 4000 = 7000$ TL
  • Bu ayda gelir ve gider eşit, yani açık yok.
  • 11. ayda ($x=11$):
  • $G(11) = 5000 + 200(11) = 5000 + 2200 = 7200$ TL
  • $M(11) = 3000 + 400(11) = 3000 + 4400 = 7400$ TL
  • Bu ayda gider ($7400$ TL) gelirden ($7200$ TL) fazla, yani bütçe açığı oluşmaya başlamıştır.

Bu durumda, bütçe açığı 11. aydan itibaren oluşmaya başlar.

Cevap D seçeneğidir.