Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları Test 1

Bir maaşın enflasyona göre ayarlanması için M(x) = 4000(1 + 0.02x) fonksiyonu kullanılıyor. (x: ay, M(x): maaş) Buna göre, bu maaşın ilk 1 yıldaki ortalama aylık artış miktarı kaç TL'dir?

A) 70 TL
B) 75 TL
C) 80 TL
D) 85 TL

Bu soruda, bir maaşın enflasyona göre nasıl ayarlandığını gösteren bir fonksiyon verilmiş ve bizden bu maaşın ilk 1 yıldaki ortalama aylık artış miktarını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonu Anlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $M(x) = 4000(1 + 0.02x)$ şeklindedir. Burada $x$ ay sayısını ve $M(x)$ ise $x$. aydaki maaş miktarını temsil eder.

  Bu fonksiyonu dağıtırsak daha net görebiliriz:

  $M(x) = 4000 \times 1 + 4000 \times 0.02x$

  $M(x) = 4000 + 80x$

  Bu ifade bize maaşın başlangıçta $4000$ TL olduğunu ve her ay $80$ TL arttığını gösteren doğrusal bir fonksiyondur.

• 2. İlk Maaşı (0. Ay) Bulalım:

  Maaşın başlangıçtaki miktarını bulmak için $x=0$ (0. ay) değerini fonksiyonda yerine koyarız:

  $M(0) = 4000 + 80 \times 0$

  $M(0) = 4000 + 0$

  $M(0) = 4000$ TL

  Yani, başlangıçtaki maaş $4000$ TL'dir.

• 3. Bir Yıl Sonundaki Maaşı (12. Ay) Bulalım:

  Soru bizden ilk 1 yıldaki ortalama artışı istediği için, 1 yılın kaç ay olduğunu düşünmeliyiz. 1 yıl = 12 aydır. Bu yüzden $x=12$ (12. ay) değerini fonksiyonda yerine koyarız:

  $M(12) = 4000 + 80 \times 12$

  $M(12) = 4000 + 960$

  $M(12) = 4960$ TL

  Yani, 1 yıl (12 ay) sonraki maaş $4960$ TL olacaktır.

• 4. Toplam Maaş Artışını Bulalım:

  İlk 1 yıl içinde maaşın toplam ne kadar arttığını bulmak için, 12. aydaki maaştan 0. aydaki maaşı çıkarırız:

  Toplam Artış = $M(12) - M(0)$

  Toplam Artış = $4960 - 4000$

  Toplam Artış = $960$ TL

  Yani, maaş ilk 1 yıl içinde toplam $960$ TL artmıştır.

• 5. Ortalama Aylık Artış Miktarını Bulalım:

  Toplam artış miktarını bulduk. Şimdi bu artışın 12 aya yayıldığında aylık ortalama ne kadar olduğunu bulmak için toplam artışı ay sayısına böleriz:

  Ortalama Aylık Artış = $\frac{\text{Toplam Artış}}{\text{Ay Sayısı}}$

  Ortalama Aylık Artış = $\frac{960}{12}$

  Ortalama Aylık Artış = $80$ TL

  Bu sonuç, maaşın her ay ortalama $80$ TL arttığını gösterir.

• Ek Bilgi (Doğrusal Fonksiyonlar İçin):

  Fark ettiyseniz, $M(x) = 4000 + 80x$ fonksiyonu doğrusal bir fonksiyondur ($y = ax + b$ şeklinde). Doğrusal fonksiyonlarda $x$'in katsayısı ($a$ değeri) bize değişimin oranını, yani her bir $x$ birimi başına düşen artış miktarını verir. Bu durumda $x$'in katsayısı $80$ olduğu için, maaşın her ay sabit olarak $80$ TL arttığını doğrudan fonksiyondan da görebilirdik. Bu nedenle, aylık artış miktarı sabit olduğu için ortalama aylık artış miktarı da bu sabit değere eşit olacaktır.

Bu adımları takip ettiğimizde, maaşın ilk 1 yıldaki ortalama aylık artış miktarının $80$ TL olduğunu buluruz.

Cevap C seçeneğidir.