Koordinat düzleminde A(2, -1) ve B(-4, 5) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan ve 3x - 2y + 7 = 0 doğrusu üzerinde olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
Bu problemde, iki noktaya eşit uzaklıkta olan ve belirli bir doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatları toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Eşit Uzaklık Koşulunu Kullanarak İlk Denklemi Bulma
- Aradığımız nokta $P(x, y)$ olsun. Bu noktanın $A(2, -1)$ ve $B(-4, 5)$ noktalarına eşit uzaklıkta olması demek, $PA = PB$ demektir. İşlemleri kolaylaştırmak için uzaklıkların karelerini eşitleyebiliriz: $PA^2 = PB^2$.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ olduğundan, kareleri için kök işaretini kullanmayız.
- $PA^2 = (x-2)^2 + (y-(-1))^2 = (x-2)^2 + (y+1)^2$
- $PB^2 = (x-(-4))^2 + (y-5)^2 = (x+4)^2 + (y-5)^2$
- Şimdi bu iki ifadeyi eşitleyelim ve denklemi basitleştirelim:
- $(x-2)^2 + (y+1)^2 = (x+4)^2 + (y-5)^2$
- $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$
- Denklemin her iki tarafındaki $x^2$ ve $y^2$ terimleri birbirini götürür:
- $-4x + 2y + 5 = 8x - 10y + 41$
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak denklemi düzenleyelim:
- $0 = 8x + 4x - 10y - 2y + 41 - 5$
- $0 = 12x - 12y + 36$
- Denklemin her tarafını 12'ye bölerek basitleştirelim:
- $x - y + 3 = 0$ (Bu bizim ilk denklemimizdir.)
- Adım 2: Doğru Denklemini Kullanarak İkinci Denklemi Bulma
- Nokta $P(x, y)$, $3x - 2y + 7 = 0$ doğrusu üzerinde bulunmaktadır. Bu, noktanın koordinatlarının bu denklemi sağlaması gerektiği anlamına gelir.
- $3x - 2y + 7 = 0$ (Bu bizim ikinci denklemimizdir.)
- Adım 3: Denklem Sistemini Çözerek Noktanın Koordinatlarını Bulma
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:
- 1) $x - y + 3 = 0$
- 2) $3x - 2y + 7 = 0$
- İlk denklemden $y$'yi $x$ cinsinden ifade edelim: $y = x + 3$.
- Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım (yerine koyma metodu):
- $3x - 2(x + 3) + 7 = 0$
- $3x - 2x - 6 + 7 = 0$
- $x + 1 = 0$
- Buradan $x = -1$ bulunur.
- Şimdi $x = -1$ değerini $y = x + 3$ denkleminde yerine koyarak $y$'yi bulalım:
- $y = -1 + 3$
- $y = 2$
- Böylece, aradığımız noktanın koordinatları $P(-1, 2)$ olarak bulunur.
- Adım 4: Koordinatlar Toplamını Bulma
- Noktanın koordinatları $x = -1$ ve $y = 2$ olduğuna göre, koordinatları toplamı:
- $x + y = -1 + 2 = 1$
Cevap B seçeneğidir.
