Kapalı (Genel) doğru denklemi (ax+by+c=0) Test 1

2x - 3y + 6 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(-1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x - 3y + 14 = 0
B) 2x - 3y - 10 = 0
C) 3x - 2y + 11 = 0
D) 3x + 2y - 5 = 0

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle doğru denklemleriyle ilgili önemli bir konuyu, paralel doğruların denklemini bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.

• Adım 1: Paralel Doğruların Eğimi

  İki doğru paralel ise, eğimleri birbirine eşittir. Bu, paralel doğruların en temel özelliğidir. Bu yüzden ilk olarak bize verilen $2x - 3y + 6 = 0$ doğrusunun eğimini bulmalıyız.

  Bir doğrunun eğimini bulmak için denklemi genellikle $y = mx + c$ (eğim-kesim noktası) formuna getiririz. Burada $m$ eğimi temsil eder.

  • Verilen denklem: $2x - 3y + 6 = 0$
  • $-3y$ terimini yalnız bırakalım: $-3y = -2x - 6$
  • Her tarafı $-3$'e bölelim: $y = \frac{-2x}{-3} + \frac{-6}{-3}$
  • Denklem şu hale gelir: $y = \frac{2}{3}x + 2$

  Bu durumda, verilen doğrunun eğimi $m = \frac{2}{3}$'tür. Aradığımız doğru bu doğruya paralel olduğu için, onun eğimi de $m = \frac{2}{3}$ olacaktır.

• Adım 2: Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemini Yazma

  Şimdi elimizde yeni doğrunun eğimi ($m = \frac{2}{3}$) ve geçtiği bir nokta ($A(-1, 4)$) var. Bu bilgileri kullanarak doğrunun denklemini yazabiliriz. Bunun için nokta-eğim formülünü kullanırız: $y - y_1 = m(x - x_1)$.

  • Noktamız $A(-1, 4)$ olduğu için $x_1 = -1$ ve $y_1 = 4$'tür.
  • Eğimimiz $m = \frac{2}{3}$'tür.
  • Formülde yerine yazalım: $y - 4 = \frac{2}{3}(x - (-1))$
  • Denklemi düzenleyelim: $y - 4 = \frac{2}{3}(x + 1)$
• Adım 3: Denklemi Standart Forma Getirme

  Sorunun seçenekleri $Ax + By + C = 0$ şeklinde (standart form) olduğu için bulduğumuz denklemi bu forma dönüştürmemiz gerekiyor.

  • $y - 4 = \frac{2}{3}(x + 1)$ denkleminde paydadan kurtulmak için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
  • $3(y - 4) = 2(x + 1)$
  • Parantezleri açalım: $3y - 12 = 2x + 2$
  • Tüm terimleri bir tarafa toplayalım. Genellikle $x$ teriminin katsayısını pozitif tutmaya çalışırız, bu yüzden $3y - 12$ terimlerini sağ tarafa atalım:
  • $0 = 2x - 3y + 2 + 12$
  • Denklem şu hale gelir: $2x - 3y + 14 = 0$
• Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz doğru denklemi $2x - 3y + 14 = 0$'dır. Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $2x - 3y + 14 = 0$
  • B) $2x - 3y - 10 = 0$
  • C) $3x - 2y + 11 = 0$
  • D) $3x + 2y - 5 = 0$

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.