A = {x | x² - 5x + 6 = 0, x ∈ R} ve B = {y | y² = 4, y ∈ R} kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, iki kümenin elemanlarını bulup, bu kümelerin kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: A kümesinin elemanlarını bulalım.
- A kümesi, $x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemini sağlayan gerçek sayılardan ($x \in R$) oluşmaktadır.
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulabiliriz:
- $(x-2)(x-3) = 0$
- Buradan iki olası çözüm elde ederiz:
- $x-2 = 0 \implies x = 2$
- $x-3 = 0 \implies x = 3$
- Her iki kök de gerçek sayıdır. Bu durumda A kümesinin elemanları $A = \{2, 3\}$ olur.
- A kümesinin eleman sayısı $s(A) = 2$'dir.
- Adım 2: B kümesinin elemanlarını bulalım.
- B kümesi, $y^2 = 4$ denklemini sağlayan gerçek sayılardan ($y \in R$) oluşmaktadır.
- Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $\sqrt{y^2} = \sqrt{4}$
- $|y| = 2$
- Mutlak değer tanımına göre, $y$ değeri $2$ veya $-2$ olabilir.
- $y = 2$
- $y = -2$
- Her iki değer de gerçek sayıdır. Bu durumda B kümesinin elemanları $B = \{-2, 2\}$ olur.
- B kümesinin eleman sayısı $s(B) = 2$'dir.
- Adım 3: A x B kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplayalım.
- İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Yani, $s(A \times B) = s(A) \times s(B)$ formülünü kullanırız.
- Bulduğumuz eleman sayılarını yerine koyalım:
- $s(A \times B) = 2 \times 2$
- $s(A \times B) = 4$
- Bu durumda, A x B kartezyen çarpımının eleman sayısı $4$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
