Kütle çekim test çöz AYT Test 1

Bir uydu Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanmaktadır. Uydunun yörünge yarıçapı 4 katına çıkarılırsa, yörünge hızı ilk duruma göre nasıl değişir?

A) 2 katına çıkar
B) Yarıya iner
C) 4 katına çıkar
D) Aynı kalır

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle bir uydunun dairesel yörüngede hareket ederken hangi kuvvetlerin etkisinde olduğunu ve bu kuvvetlerin nasıl dengelendiğini anlamamız gerekiyor.

• Adım 1: Uydunun Yörüngedeki Kuvvetlerini Belirleme

Bir uydu Dünya çevresinde dairesel bir yörüngede dolanırken, üzerine etki eden temel kuvvet Dünya'nın çekim kuvvetidir (kütle çekim kuvveti). Bu çekim kuvveti, uydunun dairesel yörüngede kalmasını sağlayan merkezcil kuvvet görevini görür.

• Adım 2: Kuvvet Formüllerini Yazma

Kütle Çekim Kuvveti ($F_g$): Dünya ile uydu arasındaki çekim kuvvetidir. Formülü: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$

Burada $G$ Evrensel Çekim Sabiti, $M$ Dünya'nın kütlesi, $m$ uydunun kütlesi ve $r$ yörünge yarıçapıdır.

Merkezcil Kuvvet ($F_c$): Bir cismin dairesel yörüngede kalması için gereken kuvvettir. Formülü: $F_c = \frac{m v^2}{r}$

Burada $m$ uydunun kütlesi, $v$ yörünge hızı ve $r$ yörünge yarıçapıdır.

• Adım 3: Kuvvetleri Eşitleme

Uydu dengeli bir yörüngede hareket ettiğine göre, kütle çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşittir:

$F_g = F_c$

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

• Adım 4: Yörünge Hızı ($v$) İçin Formülü Türetme

Yukarıdaki eşitlikte her iki taraftan uydunun kütlesi ($m$) ve yörünge yarıçapı ($r$) sadeleştirilebilir:

Eşitliğin her iki tarafındaki $m$ kütlesini sadeleştirelim: $G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}$

Eşitliğin her iki tarafındaki $r$ yarıçapını sadeleştirelim: $G \frac{M}{r} = v^2$

Şimdi $v$ hızını yalnız bırakmak için karekök alalım: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

• Adım 5: Yörünge Hızının Yarıçapa Bağlılığını Anlama

Türettiğimiz $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ formülünden görüyoruz ki, yörünge hızı ($v$), yörünge yarıçapının ($r$) karekökü ile ters orantılıdır. Yani, $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.

Burada $G$ (Evrensel Çekim Sabiti) ve $M$ (Dünya'nın kütlesi) sabit değerlerdir, dolayısıyla hız sadece yarıçapa bağlıdır.

• Adım 6: Yörünge Yarıçapı Değişiminin Hıza Etkisini Hesaplama

Soruda yörünge yarıçapının 4 katına çıkarıldığı belirtiliyor. Yani yeni yarıçap $r_{yeni} = 4r_{eski}$ olacaktır.

Yeni hızı ($v_{yeni}$) bulmak için formülde $r$ yerine $4r$ yazalım:

$v_{yeni} = \sqrt{\frac{G M}{4r_{eski}}}$

$v_{yeni} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{G M}{r_{eski}}}$

$v_{yeni} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \sqrt{\frac{G M}{r_{eski}}}$

$v_{yeni} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{G M}{r_{eski}}}$

Başlangıçtaki hızımız $v_{eski} = \sqrt{\frac{G M}{r_{eski}}}$ olduğuna göre, yeni hızımız $v_{yeni}$ ilk hızımızın yarısı olacaktır:

$v_{yeni} = \frac{1}{2} v_{eski}$

• Adım 7: Sonuç

Yörünge yarıçapı 4 katına çıkarıldığında, uydunun yörünge hızı yarıya iner.

Cevap B seçeneğidir.