Kepler'in Üçüncü Kanunu'nu Anlayalım:
Kepler'in üçüncü kanunu, bir gezegenin veya uydunun yörünge periyodu ($T$) ile yörünge yarıçapı ($r$) arasındaki ilişkiyi açıklar. Bu kanuna göre, bir cismin yörünge periyodunun karesi, yörünge yarıçapının küpüyle doğru orantılıdır.
Matematiksel olarak bu ilişki şu şekilde ifade edilir:
$ rac{T^2}{r^3} = k$ (sabit)
Burada:
- $T$: Yörünge periyodu (cismin bir tam turu tamamlama süresi)
- $r$: Yörünge yarıçapı (yörüngenin ortalama yarıçapı)
- $k$: Sabit bir değerdir ve yörüngesinde dolanan cismin kütlesine değil, merkezi cismin (bu durumda Dünya'nın) kütlesine bağlıdır.
Şimdi soruyu adım adım çözelim:
- 1. Başlangıç Durumu: Uydunun başlangıç periyodu $T_1$ ve başlangıç yörünge yarıçapı $r_1$ olsun. Kepler'in üçüncü kanununa göre bu durumu şöyle yazabiliriz: $ rac{T_1^2}{r_1^3} = k$
- 2. Yarıçaptaki Değişiklik: Soruda uydunun yörünge yarıçapının 4 katına çıkarıldığı belirtiliyor. Yani yeni yarıçap $r_2 = 4r_1$ olur.
- 3. Yeni Durum: Yarıçap değiştiğinde periyot da değişecektir. Yeni periyot $T_2$ olsun. Kepler'in üçüncü kanununu yeni durum için de uygulayabiliriz: $ rac{T_2^2}{r_2^3} = k$
- 4. Denklemleri Birleştirelim: Her iki durumda da $ rac{T^2}{r^3}$ oranı sabit ($k$) olduğu için, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz: $ rac{T_1^2}{r_1^3} = rac{T_2^2}{r_2^3}$
- 5. Değerleri Yerine Koyalım: $r_2 = 4r_1$ ifadesini denklemimize yerleştirelim: $ rac{T_1^2}{r_1^3} = rac{T_2^2}{(4r_1)^3}$
- 6. Denklemi Çözelim: Şimdi denklemi sadeleştirelim ve $T_2$'yi $T_1$ cinsinden bulalım:
- $ rac{T_1^2}{r_1^3} = rac{T_2^2}{64r_1^3}$
- Denklemin her iki tarafındaki $r_1^3$ terimini sadeleştirebiliriz: $T_1^2 = rac{T_2^2}{64}$
- Şimdi $T_2^2$ ifadesini yalnız bırakalım: $T_2^2 = 64T_1^2$
- Her iki tarafın karekökünü alalım: $T_2 = \sqrt{64T_1^2}$
- $T_2 = 8T_1$
- Bu sonuç, yeni periyodun ($T_2$), başlangıç periyodunun ($T_1$) 8 katı olduğunu gösterir.
Yani, uydunun yörünge yarıçapı 4 katına çıkarılırsa periyodu 8 katına çıkar.
Cevap C seçeneğidir.
