Merhaba sevgili öğrenciler! Bir fonksiyonun çift fonksiyon olup olmadığını anlamak için temel tanımı bilmemiz ve bu tanımı verilen seçeneklere uygulamamız gerekir. Hadi adım adım inceleyelim.
-
Çift Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Geometrik olarak, çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.
-
Şimdi seçenekleri bu tanıma göre tek tek inceleyelim:
-
A) $f(x) = x^3 - x$
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x$.
- Bu ifadeyi $f(x)$ ile karşılaştıralım: $-x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$.
- Gördüğümüz gibi $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlandığı için bu fonksiyon bir tek fonksiyondur, çift değildir.
-
B) $f(x) = 2x + 1$
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1$.
- Bu ifadeyi $f(x)$ ile karşılaştıralım: $-2x + 1$ ifadesi $2x + 1$ ifadesine eşit değildir ($f(-x) \neq f(x)$). Ayrıca, $-(2x+1) = -2x-1$ ifadesine de eşit değildir ($f(-x) \neq -f(x)$).
- Bu fonksiyon ne çift ne de tek fonksiyondur.
-
C) $f(x) = \cos(x)$
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \cos(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\cos(-x) = \cos(x)$'tir.
- Yani, $f(-x) = \cos(x) = f(x)$ eşitliği sağlanmaktadır.
- Bu tanıma göre, $f(x) = \cos(x)$ bir çift fonksiyondur.
-
D) $f(x) = \sin(x)$
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \sin(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\sin(-x) = -\sin(x)$'tir.
- Yani, $f(-x) = -\sin(x) = -f(x)$ eşitliği sağlanmaktadır.
- Bu tanıma göre, $f(x) = \sin(x)$ bir tek fonksiyondur, çift değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, sadece $f(x) = \cos(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon tanımını ($f(-x) = f(x)$) sağladığını görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
