Çift fonksiyon nedir (f(-x) = f(x)) Test 1

f(x) = (x-1)² + (x+1)² fonksiyonunun çift fonksiyon olup olmadığını belirlemek için aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılabilir?

A) f(x) ifadesini sadeleştirip f(-x) = f(x) kontrol edilmeli
B) Sadece f(0) değeri hesaplanmalı
C) f(1) ve f(-1) değerleri karşılaştırılmalı
D) f(x) = 0 denklemi çözülmeli

Bir fonksiyonun çift fonksiyon olup olmadığını belirlemek için, çift fonksiyon tanımını doğru bir şekilde uygulamamız gerekir. Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olması için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekmektedir. Bu tanım, fonksiyonun $y$-eksenine göre simetrik olduğunu ifade eder.

• Çift Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa, bu fonksiyona çift fonksiyon denir.
• Şimdi seçenekleri bu tanım ışığında inceleyelim:
• A) $f(x)$ ifadesini sadeleştirip $f(-x) = f(x)$ kontrol edilmeli: Bu seçenek, çift fonksiyon tanımını doğrudan uygulamaktadır. Fonksiyonu sadeleştirmek, $f(-x)$'i hesaplamayı ve $f(x)$ ile karşılaştırmayı kolaylaştırabilir.
  Verilen fonksiyon $f(x) = (x-1)^2 + (x+1)^2$ şeklindedir.
  Önce $f(x)$'i sadeleştirelim:
  $f(x) = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1)$
  $f(x) = x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1$
  $f(x) = 2x^2 + 2$
  Şimdi $f(-x)$'i hesaplayalım:
  $f(-x) = (-x-1)^2 + (-x+1)^2$
  $f(-x) = (-(x+1))^2 + (-(x-1))^2$
  $f(-x) = (x+1)^2 + (x-1)^2$
  Görüldüğü gibi, $f(-x)$ ifadesi, $f(x)$'in orijinal haliyle aynıdır.
  Eğer sadeleştirilmiş haliyle kontrol edersek:
  $f(-x) = 2(-x)^2 + 2$
  $f(-x) = 2x^2 + 2$
  Bu durumda $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanır. Dolayısıyla, bu yöntem çift fonksiyon olup olmadığını belirlemek için doğru ve eksiksiz bir yöntemdir.
• B) Sadece $f(0)$ değeri hesaplanmalı: $f(0)$ değerini hesaplamak, fonksiyonun $y$-eksenini kestiği noktayı verir. Ancak bu bilgi, fonksiyonun genel olarak çift olup olmadığını belirlemek için yeterli değildir. Örneğin, $f(x) = x^2$ çift fonksiyondur ve $f(0)=0$'dır. Ama $g(x) = x^4 + x$ fonksiyonu çift değildir ($g(-x) = x^4 - x \neq g(x)$), ancak $g(0)=0$'dır. Tek bir nokta, fonksiyonun genel simetrisi hakkında bilgi vermez.
• C) $f(1)$ ve $f(-1)$ değerleri karşılaştırılmalı: $f(1) = f(-1)$ eşitliğinin sağlanması, fonksiyonun sadece $x=1$ ve $x=-1$ noktalarında $y$-eksenine göre simetrik olduğunu gösterir. Bir fonksiyonun çift olması için bu eşitliğin tanım kümesindeki tüm $x$ değerleri için geçerli olması gerekir. Sadece belirli bir $x$ değeri için kontrol yapmak yeterli değildir. Örneğin, $h(x) = x^3 - x$ fonksiyonu için $h(1) = 1^3 - 1 = 0$ ve $h(-1) = (-1)^3 - (-1) = -1 + 1 = 0$'dır, yani $h(1) = h(-1)$'dir. Ancak $h(x)$ çift fonksiyon değildir, aslında tek fonksiyondur ($h(-x) = -h(x)$).
• D) $f(x) = 0$ denklemi çözülmeli: $f(x) = 0$ denklemini çözmek, fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmak anlamına gelir. Bu işlem, fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemekle doğrudan ilgili değildir. Köklerin simetrik olması (örneğin $x=a$ ve $x=-a$ gibi) çift fonksiyonlar için bir özellik olabilir, ancak bu tek başına yeterli bir kanıt değildir ve çift fonksiyon tanımını uygulamanın bir yolu değildir.

Yukarıdaki analizler sonucunda, bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemenin en doğru ve eksiksiz yolu, çift fonksiyon tanımını uygulamak, yani $f(-x)$'i hesaplayıp $f(x)$ ile karşılaştırmaktır. Fonksiyonu sadeleştirmek bu süreci kolaylaştırır.

Cevap A seçeneğidir.