Öz alt küme sayısı formülü (2ⁿ - 1) Test 1

Bir kümenin öz alt küme sayısı 63 ise bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir kümenin öz alt küme sayısı verildiğinde eleman sayısını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Öz Alt Küme Kavramını Anlayalım

  Bir kümenin öz alt kümeleri, o kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümeleridir. Yani, bir kümenin tüm alt kümelerinden bir tanesini (kümenin kendisini) çıkardığımızda geriye kalanlar öz alt kümelerdir.

• Adım 2: Öz Alt Küme Sayısı Formülünü Hatırlayalım

  Eğer bir kümenin eleman sayısı $n$ ise:

  • Bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.
  • Bu durumda, bir kümenin öz alt küme sayısı $2^n - 1$ formülü ile bulunur. Çünkü tüm alt kümelerden kümenin kendisini (1 tane) çıkarırız.
• Adım 3: Verilen Bilgiyi Formüle Uygulayalım

  Soruda bize öz alt küme sayısının 63 olduğu verilmiş. Öz alt küme sayısı formülünü kullanarak bir denklem kurabiliriz:

  $2^n - 1 = 63$

• Adım 4: Denklemi Çözerek Eleman Sayısını Bulalım

  Şimdi bu denklemi çözerek $n$ (kümenin eleman sayısı) değerini bulalım:

  • Denklemimiz: $2^n - 1 = 63$
  • Eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyelim (yani -1'i karşıya +1 olarak atalım):
  • $2^n = 63 + 1$
  • $2^n = 64$
  • Şimdi $2$'nin hangi kuvvetinin 64 olduğunu bulmalıyız. $2$ sayısını kendisiyle çarparak ilerleyelim:
  • $2^1 = 2$
  • $2^2 = 4$
  • $2^3 = 8$
  • $2^4 = 16$
  • $2^5 = 32$
  • $2^6 = 64$
  • Gördüğümüz gibi, $2^6 = 64$ olduğundan, $n = 6$ olmalıdır.
• Adım 5: Sonucu Kontrol Edelim

  Eğer kümenin eleman sayısı 6 ise ($n=6$), öz alt küme sayısı $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ olur. Bu da soruda verilen bilgiyle tamamen uyuşmaktadır.

Bu durumda, kümenin eleman sayısı 6'dır.

Cevap B seçeneğidir.