Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerektiğini öğrenen Ayşe, 4 basamaklı 3A7B sayısının 9 ile tam bölünebildiğini hesaplıyor. Buna göre A + B toplamı kaç farklı değer alabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Problem Çözümü:
Sevgili öğrenciler, Ayşe'nin öğrendiği kuralı hatırlayarak bu problemi adım adım çözelim. Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un bir katı olması gerekir.
Ayşe'nin elindeki sayı $3A7B$ dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 9 ile tam bölünebildiği söyleniyor.
Öncelikle sayının rakamlarını toplayalım: $3 + A + 7 + B$.
Bu toplamı düzenlersek: $10 + A + B$.
9 ile bölünebilme kuralına göre, $10 + A + B$ ifadesinin 9'un bir katı olması gerekir. Yani $10 + A + B = 9k$ olmalıdır (burada $k$ bir tam sayıdır).
Şimdi $A$ ve $B$ rakamlarının alabileceği değerleri düşünelim. $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için $0 \le A \le 9$ ve $0 \le B \le 9$ olmalıdır.
Bu durumda $A+B$ toplamının alabileceği en küçük değer $0+0=0$ ve en büyük değer $9+9=18$'dir.
Yani $A+B$ toplamı $0$ ile $18$ arasında bir değer alabilir ($0 \le A+B \le 18$).
Şimdi $10 + A + B = 9k$ denklemini bu aralık için inceleyelim:
$A+B$ toplamının en küçük değeri 0 olduğunda, $10 + A + B = 10 + 0 = 10$ olur.
$A+B$ toplamının en büyük değeri 18 olduğunda, $10 + A + B = 10 + 18 = 28$ olur.
Yani $10 + A + B$ ifadesi $10$ ile $28$ arasında bir değer almalıdır.
Bu aralıkta 9'un katı olan sayılar nelerdir? Sadece 18 ve 27'dir.
Durum 1: Eğer $10 + A + B = 18$ ise, $A + B = 18 - 10 = 8$ olur. Bu değer $0 \le A+B \le 18$ aralığındadır, yani geçerlidir.
Durum 2: Eğer $10 + A + B = 27$ ise, $A + B = 27 - 10 = 17$ olur. Bu değer de $0 \le A+B \le 18$ aralığındadır, yani geçerlidir.
Bir sonraki 9'un katı olan 36 sayısı, $10+A+B$ için belirlediğimiz $10$ ile $28$ aralığının dışındadır. Bu yüzden başka bir durum olamaz.
Bu durumda $A+B$ toplamı sadece 8 ve 17 değerlerini alabilir.
