Niceleyicilerin olumsuzu (değili) nasıl alınır Test 1

$\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$ önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\exists \epsilon > 0$, $\forall \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta$ ve $|f(x)-f(a)| \geq \epsilon$
B) $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ öyle ki $|x-a| \geq \delta$ ve $|f(x)-f(a)| \geq \epsilon$
C) $\exists \epsilon > 0$, $\forall \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta$ ve $|f(x)-f(a)| < \epsilon$
D) $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta$ ve $|f(x)-f(a)| \geq \epsilon$

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, matematiksel mantıkta sıkça karşılaştığımız bir önermenin (limit veya süreklilik tanımı gibi) değilini (olumsuzunu) bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Orijinal Önermeyi Anlayalım

  Verilen önerme şudur: $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$.

  Bu önerme, bir $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olmasının matematiksel tanımıdır. Anlamı şudur: "Herhangi bir pozitif $\epsilon$ değeri için (çıktıdaki yakınlık), öyle bir pozitif $\delta$ değeri vardır ki (girdi yakınlığı), eğer $x$ değeri $a$'ya $\delta$ kadar yakınsa, o zaman $f(x)$ değeri $f(a)$'ya $\epsilon$ kadar yakın olur."

• Adım 2: Önermenin Değilini (Olumsuzunu) Alma Kurallarını Hatırlayalım

  Bir önermenin değilini alırken aşağıdaki kuralları uygularız:

  • Evrensel niceleyici ($\forall$, "her") yerine varlıksal niceleyici ($\exists$, "bazı") gelir ve tersi de geçerlidir.
  • Bir önermenin değilini alırken, önermenin kendisini de olumsuzlarız.
  • Bir koşullu önermenin ($P \Rightarrow Q$) değili, $P \land \neg Q$ şeklindedir. Yani, "P doğru ve Q yanlış" demektir.
• Adım 3: Önermenin Değilini Adım Adım Alalım

  Orijinal önerme: $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$

  Şimdi bu önermenin değilini alalım:

  • İlk niceleyiciyi olumsuzlayalım: $\forall \epsilon > 0$ ifadesinin değili $\exists \epsilon > 0$ olur.

    Şu ana kadar: $\exists \epsilon > 0$, $\neg (\exists \delta > 0 \text{ öyle ki } |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon)$

  • İkinci niceleyiciyi olumsuzlayalım: $\exists \delta > 0$ ifadesinin değili $\forall \delta > 0$ olur.

    Şu ana kadar: $\exists \epsilon > 0$, $\forall \delta > 0$ öyle ki $\neg (|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon)$

  • Koşullu önermeyi olumsuzlayalım: $|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$ ifadesinin değilini almalıyız.

    Burada $P = (|x-a| < \delta)$ ve $Q = (|f(x)-f(a)| < \epsilon)$ olsun.

    Koşullu önermenin değili $P \land \neg Q$ şeklindeydi. Yani:

    • $P$ aynen kalır: $|x-a| < \delta$
    • $Q$'nun değili alınır: $\neg (|f(x)-f(a)| < \epsilon)$ bu da $|f(x)-f(a)| \geq \epsilon$ demektir.

    Dolayısıyla, koşullu önermenin değili: $|x-a| < \delta \land |f(x)-f(a)| \geq \epsilon$ olur.

• Adım 4: Tüm Parçaları Birleştirelim

  Yukarıdaki adımları birleştirdiğimizde, orijinal önermenin değili şu şekilde olur:

  $\exists \epsilon > 0$, $\forall \delta > 0$ öyle ki $|x-a| < \delta$ ve $|f(x)-f(a)| \geq \epsilon$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile birebir örtüştüğünü görürüz.

Cevap A seçeneğidir.