Logaritma fonksiyonu nedir Test 1

Bir bakteri populasyonu her saat başı 3 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 25 bakteri bulunan bir kültürde bakteri sayısının 6075'e ulaşması için geçen süreyi veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 25 \times 3^t = 6075 \)
B) \( 25 \times t^3 = 6075 \)
C) \( 3 \times 25^t = 6075 \)
D) \( 25 + 3t = 6075 \)

Bu soruda, bir bakteri popülasyonunun zamanla nasıl büyüdüğünü ifade eden denklemi bulmamız isteniyor. Bakteri popülasyonları genellikle üstel (eksponansiyel) bir şekilde büyürler. Hadi adım adım bu denklemi nasıl kuracağımızı inceleyelim:

• Adım 1: Sorudaki Verileri Anlayalım

  Başlangıçtaki bakteri sayısı (ilk miktar) $25$ bakteridir.

  Bakteri popülasyonu her saat başı $3$ katına çıkıyor. Bu, büyüme faktörümüzdür.

  Ulaşmak istediğimiz bakteri sayısı (son miktar) $6075$ bakteridir.

  Aradığımız şey ise bu sayıya ulaşmak için geçen süredir. Bu süreyi genellikle '$t$' ile gösteririz.

• Adım 2: Üstel Büyüme Modelini Hatırlayalım

  Üstel büyüme, bir miktarın belirli bir zaman aralığında sabit bir oranla (katıyla) artması durumudur. Genel formülü şöyledir:

  $P(t) = P_0 \times r^t$

  Burada:

  $P(t)$ = Belirli bir $t$ anındaki miktar (son miktar)

  $P_0$ = Başlangıçtaki miktar (ilk miktar)

  $r$ = Büyüme faktörü (her zaman aralığında kaç katına çıktığı)

  $t$ = Geçen zaman

• Adım 3: Verileri Formüle Yerleştirelim

  Şimdi sorudaki bilgileri üstel büyüme formülümüze yerleştirelim:

  $P_0$ (Başlangıçtaki bakteri sayısı) = $25$

  $r$ (Büyüme faktörü) = $3$ (çünkü her saat $3$ katına çıkıyor)

  $P(t)$ (Ulaşmak istediğimiz bakteri sayısı) = $6075$

  $t$ (Geçen süre) = Bilinmeyenimiz

  Bu değerleri formülde yerine koyduğumuzda şu denklemi elde ederiz:

  $6075 = 25 \times 3^t$

  Veya daha yaygın yazılışıyla:

  $25 \times 3^t = 6075$

• Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim

  Elde ettiğimiz denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:

  A) $25 \times 3^t = 6075$ - Bu, bizim bulduğumuz denklemle tamamen aynıdır.

  B) $25 \times t^3 = 6075$ - Burada $t$ üs yerine taban olarak kullanılmış, bu yanlış bir gösterimdir. Büyüme faktörü $3$ sabittir, zaman $t$ ise üs konumundadır.

  C) $3 \times 25^t = 6075$ - Bu denklemde başlangıç miktarı $3$, büyüme faktörü ise $25$ olarak alınmış. Bu da sorudaki bilgilere uymuyor.

  D) $25 + 3t = 6075$ - Bu denklem doğrusal bir büyümeyi ifade ederdi (her saat $3$ bakteri eklenmesi gibi), oysa bizim durumumuzda bakteri sayısı her saat $3$ katına çıkıyor, yani üstel bir büyüme söz konusu.

Gördüğünüz gibi, doğru denklem başlangıç miktarını, büyüme faktörünü ve zamanı doğru bir şekilde ilişkilendiriyor.

Cevap A seçeneğidir.