Basit sarkaç periyot formülü (T = 2π√(L/g) - Tolga) Test 1

Periyodu 2 saniye olan bir basit sarkacın uzunluğu 1 metredir. Aynı sarkaç yer çekimi ivmesinin 4 kat daha fazla olduğu bir gezegene götürülürse yeni periyodu kaç saniye olur?

A) 0,5
B) 1
C) 2
D) 4

Bu soruda, basit bir sarkacın periyodunun yer çekimi ivmesiyle nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Basit sarkaçların hareketini anlamak için bilmemiz gereken temel bir formül var. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:

• Basit Sarkacın Periyot Formülü: Bir basit sarkacın periyodu ($T$), sarkacın boyu ($L$) ve yer çekimi ivmesi ($g$) ile aşağıdaki formülle ilişkilidir:

  $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

  Bu formül bize periyodun, sarkacın boyunun kareköküyle doğru orantılı, yer çekimi ivmesinin kareköküyle ise ters orantılı olduğunu gösterir.
• Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Başlangıçtaki periyot ($T_1$) = 2 saniye

  Sarkacın uzunluğu ($L$) = 1 metre (Bu uzunluk değişmiyor, çünkü sarkaç aynı sarkaç.)

  Başlangıçtaki yer çekimi ivmesi ($g_1$) = $g$ (diyelim)

  Yeni gezegendeki yer çekimi ivmesi ($g_2$) = $4g_1 = 4g$ (yer çekimi ivmesi 4 katına çıkıyor)

• Başlangıç Durumunu Formüle Edelim:

  İlk durumda periyot formülümüz:

  $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_1}}$

  Verilen değeri yerine koyarsak:

  $2 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g_1}}$

  Bu ifadeyi şimdilik böyle bırakalım, çünkü oranlama yaparak daha kolay çözüme ulaşabiliriz.

• Yeni Gezegendeki Durumu Formüle Edelim:

  Yeni gezegende sarkacın uzunluğu ($L$) aynı kalırken, yer çekimi ivmesi ($g_2$) $4g_1$ oluyor. Yeni periyodu ($T_2$) bulmak istiyoruz:

  $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_2}}$

  $g_2$ yerine $4g_1$ yazalım:

  $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g_1}}$

• Periyotları Karşılaştıralım:

  Şimdi $T_2$ ifadesini $T_1$ cinsinden yazmaya çalışalım:

  $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{L}{g_1}}$

  Karekök içindeki $\frac{1}{4}$'ü dışarı çıkarabiliriz:

  $T_2 = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{L}{g_1}}$

  $T_2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{g_1}}$

  Bu ifadeyi düzenlersek:

  $T_2 = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_1}} \right)$

  Gördüğümüz gibi parantez içindeki ifade tam olarak başlangıçtaki periyot $T_1$'e eşittir!

  $T_2 = \frac{1}{2} T_1$

• Yeni Periyodu Hesaplayalım:

  Başlangıçtaki periyot $T_1 = 2$ saniye olduğuna göre, yeni periyot:

  $T_2 = \frac{1}{2} \times 2 \text{ saniye}$

  $T_2 = 1 \text{ saniye}$

  Yani yer çekimi ivmesi 4 katına çıktığında, periyot yarıya inmiştir. Bu, periyodun yer çekimi ivmesinin kareköküyle ters orantılı olmasının bir sonucudur. ($ \sqrt{4} = 2 $ olduğundan, periyot 2 kat azalır.)

Cevap B seçeneğidir.