Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabol denklemi Test 1

Parabolün x eksenini kestiği noktalar (2, 0) ve (6, 0) olup y eksenini (0, 12) noktasında kesmektedir. Buna göre parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = x² - 8x + 12
B) y = x² + 8x + 12
C) y = -x² + 8x + 12
D) y = x² - 8x - 12

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir parabolün denklemini, x eksenini ve y eksenini kestiği noktaları kullanarak nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!

• 1. Adım: Parabolün x eksenini kestiği noktaları kullanma

  Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) $x_1$ ve $x_2$ ise, parabolün denklemi genel olarak $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir. Bu formül, kökleri bilinen bir parabol denklemini oluşturmak için çok kullanışlıdır.

  Soruda verilen bilgilere göre, parabol x eksenini $(2, 0)$ ve $(6, 0)$ noktalarında kesmektedir. Bu durumda $x_1 = 2$ ve $x_2 = 6$ olur.

  Şimdi bu değerleri genel denkleme yerleştirelim:

  $y = a(x - 2)(x - 6)$

  Burada 'a' katsayısı parabolün kollarının yönünü ve açıklığını belirler. Bu katsayıyı bulmak için başka bir noktaya ihtiyacımız var.

• 2. Adım: Parabolün y eksenini kestiği noktayı kullanarak 'a' katsayısını bulma

  Soruda parabolün y eksenini $(0, 12)$ noktasında kestiği belirtilmiştir. Bu nokta, parabolün üzerindedir ve denklemi sağlamak zorundadır. Yani, $x=0$ olduğunda $y=12$ olmalıdır.

  Bulduğumuz $y = a(x - 2)(x - 6)$ denkleminde $x=0$ ve $y=12$ değerlerini yerine yazalım:

  $12 = a(0 - 2)(0 - 6)$

  $12 = a(-2)(-6)$

  $12 = a(12)$

  Şimdi 'a' katsayısını bulmak için denklemi çözelim:

  $a = \frac{12}{12}$

  $a = 1$

  Böylece 'a' katsayısının 1 olduğunu bulduk.

• 3. Adım: Parabolün denklemini oluşturma ve sadeleştirme

  Bulduğumuz $a=1$ değerini ilk adımda oluşturduğumuz denkleme geri yerleştirelim:

  $y = 1(x - 2)(x - 6)$

  $y = (x - 2)(x - 6)$

  Şimdi bu ifadeyi açarak parabolün standart denklemini elde edelim. İki parantez içindeki terimleri birbiriyle çarpıyoruz (dağılma özelliği):

  $y = x \cdot x + x \cdot (-6) + (-2) \cdot x + (-2) \cdot (-6)$

  $y = x^2 - 6x - 2x + 12$

  Benzer terimleri birleştirelim:

  $y = x^2 - 8x + 12$

• 4. Adım: Seçeneklerle karşılaştırma

  Bulduğumuz parabol denklemi $y = x^2 - 8x + 12$ şeklindedir. Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $y = x^2 - 8x + 12$
  • B) $y = x^2 + 8x + 12$
  • C) $y = -x^2 + 8x + 12$
  • D) $y = x^2 - 8x - 12$

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Bu adımları takip ederek parabolün denklemini kolayca bulabiliriz. Cevap A seçeneğidir.