Noktanın bir noktaya göre simetriği Test 1

P(-3, 4) noktasının Q(2, -1) noktasına göre simetriği R noktasıdır. Buna göre R noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (7, -6)
B) (-7, 6)
C) (1, 3)
D) (-1, -3)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir noktanın başka bir noktaya göre simetriğini bulmayı öğreneceğiz. Simetri, bir noktanın diğer bir noktaya olan uzaklığının aynı kalması ve bu iki noktanın, simetri alınan noktanın tam karşısında yer alması demektir. Yani, simetri alınan nokta, başlangıç noktası ile simetrik noktanın tam ortasında (orta noktası) bulunur.

• Adım 1: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim

  Bize verilenler:

  • P noktası: $P(-3, 4)$
  • Simetri alınan nokta (orta nokta): $Q(2, -1)$
  • Aranan nokta: R noktası (P noktasının Q'ya göre simetriği)

  P noktasının Q noktasına göre simetriği R noktası ise, Q noktası P ile R noktalarının tam orta noktasıdır. Yani, Q noktası, PR doğru parçasının orta noktasıdır.

• Adım 2: Orta Nokta Formülünü Hatırlayalım

  İki nokta $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ olsun. Bu iki noktanın orta noktası $M(x_m, y_m)$ ise, orta nokta koordinatları şu formülle bulunur:

  $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

  $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

• Adım 3: Formülü Sorudaki Noktalara Uygulayalım

  Burada:

  • P noktası $(x_1, y_1) = (-3, 4)$
  • Q noktası $(x_m, y_m) = (2, -1)$
  • R noktası $(x_2, y_2) = (x_R, y_R)$ (Aradığımız koordinatlar)

  Şimdi bu değerleri orta nokta formülüne yerleştirelim:

  x koordinatı için:

  $2 = \frac{-3 + x_R}{2}$

  y koordinatı için:

  $-1 = \frac{4 + y_R}{2}$

• Adım 4: R noktasının Koordinatlarını Bulmak İçin Denklemleri Çözelim

  x koordinatı için:

  $2 = \frac{-3 + x_R}{2}$

  Her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

  $2 \times 2 = -3 + x_R$

  $4 = -3 + x_R$

  $-3$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım (işaret değiştirerek):

  $4 + 3 = x_R$

  $x_R = 7$

  y koordinatı için:

  $-1 = \frac{4 + y_R}{2}$

  Her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

  $-1 \times 2 = 4 + y_R$

  $-2 = 4 + y_R$

  $4$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım (işaret değiştirerek):

  $-2 - 4 = y_R$

  $y_R = -6$

• Adım 5: R Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim

  Bulduğumuz $x_R$ ve $y_R$ değerlerini birleştirerek R noktasının koordinatlarını yazalım:

  $R(7, -6)$

Bu koordinatlar seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.