9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 6

Bir (K, ≤) sıralı kümesi için: Her a, b ∈ K ve a < b iken, a < x < b olacak şekilde bir x ∈ K elemanı varsa, K'ya arada olma özelliğine sahiptir denir.
Buna göre aşağıdaki kümelerden hangisi arada olma özelliğine sahiptir?

A) ℕ (Doğal sayılar)
B) ℤ (Tam sayılar)
C) ℚ (Rasyonel sayılar)
D) {1, 2, 3, 4, 5}

Bu soruda, bir kümenin "arada olma özelliğine" sahip olup olmadığını belirlememiz isteniyor. Bu özellik, sezgisel olarak, kümenin elemanları arasında "boşluk" olmaması anlamına gelir. Yani, herhangi iki farklı eleman arasında her zaman kümeden başka bir eleman bulabilmeliyiz.

Tanıma göre, bir $(K, \le)$ sıralı kümesi için: Her $a, b \in K$ ve $a < b$ iken, $a < x < b$ olacak şekilde bir $x \in K$ elemanı varsa, K'ya arada olma özelliğine sahiptir denir.

• A) $ℕ$ (Doğal sayılar): Doğal sayılar kümesi $\{1, 2, 3, \dots\}$ (veya bazı tanımlara göre $\{0, 1, 2, \dots\}$) elemanları arasında belirli "sıçramalar" içerir. Örneğin, $a=1$ ve $b=2$ doğal sayılarını alalım. $1 < x < 2$ olacak şekilde bir $x \in ℕ$ elemanı var mıdır? Hayır, 1 ile 2 arasında başka bir doğal sayı yoktur. Bu nedenle $ℕ$ arada olma özelliğine sahip değildir.
• B) $ℤ$ (Tam sayılar): Tam sayılar kümesi $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ de doğal sayılar gibi elemanları arasında boşluklar içerir. Örneğin, $a=0$ ve $b=1$ tam sayılarını alalım. $0 < x < 1$ olacak şekilde bir $x \in ℤ$ elemanı var mıdır? Hayır, 0 ile 1 arasında başka bir tam sayı yoktur. Bu nedenle $ℤ$ arada olma özelliğine sahip değildir.
• D) $\{1, 2, 3, 4, 5\}$: Bu küme sonlu bir kümedir. $a=1$ ve $b=2$ elemanlarını alalım. $1 < x < 2$ olacak şekilde kümeden bir $x$ elemanı yoktur. Genel olarak, birden fazla elemanı olan hiçbir sonlu küme bu özelliğe sahip olamaz. Bu nedenle $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ arada olma özelliğine sahip değildir.
• C) $ℚ$ (Rasyonel sayılar): Rasyonel sayılar kümesi, $\frac{p}{q}$ şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur (burada $p \in ℤ$ ve $q \in ℕ, q \ne 0$). Bu kümenin arada olma özelliğine sahip olup olmadığını kontrol edelim.

  Herhangi iki farklı rasyonel sayı $a, b \in ℚ$ alalım ve $a < b$ olsun. Amacımız, $a < x < b$ olacak şekilde bir $x \in ℚ$ bulmaktır.

  Böyle bir $x$ elemanını bulmak için, $a$ ve $b$'nin aritmetik ortalamasını (ortalama değerini) kullanabiliriz: $x = \frac{a+b}{2}$.

  Öncelikle, $x$'in rasyonel bir sayı olup olmadığını kontrol edelim: $a$ ve $b$ rasyonel sayılar olduğundan, toplamları $a+b$ de rasyoneldir. Rasyonel bir sayıyı 2 gibi sıfırdan farklı bir tam sayıya bölmek de yine rasyonel bir sayı verir. Dolayısıyla, $x = \frac{a+b}{2} \in ℚ$ olur.

  Şimdi de $a < x < b$ eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

  1. $a < b$ olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafına $a$ eklersek: $a+a < a+b \implies 2a < a+b$. Her iki tarafı 2'ye bölersek: $a < \frac{a+b}{2}$, yani $a < x$ elde ederiz.

  2. Benzer şekilde, $a < b$ olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafına $b$ eklersek: $a+b < b+b \implies a+b < 2b$. Her iki tarafı 2'ye bölersek: $\frac{a+b}{2} < b$, yani $x < b$ elde ederiz.

  Bu durumda, her $a, b \in ℚ$ ve $a < b$ için, $a < \frac{a+b}{2} < b$ olacak şekilde bir $\frac{a+b}{2} \in ℚ$ elemanı bulabiliyoruz. Bu da rasyonel sayılar kümesinin arada olma özelliğine sahip olduğunu gösterir.

Cevap C seçeneğidir.