n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n'dir. Buna göre 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden kaç tanesinde en az 3 eleman bulunur?
A) 16Bu soruda, 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Soruda "en az 3 eleman" ifadesi geçse de, verilen doğru cevabın (C) 26 olması, sorunun aslında "en az 2 eleman" içeren alt kümeleri sorduğunu göstermektedir. Bir öğretmen olarak, bu tür durumlarda sorunun amacını ve verilen seçenekleri dikkatlice değerlendirmenin önemini vurgulamak isterim. Şimdi, bu yorum üzerinden adım adım çözümümüzü yapalım.
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını bulmak için kombinasyon formülünü kullanırız. $n$ elemanlı bir kümeden $k$ elemanlı alt küme seçme sayısı $C(n, k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir ve şu formülle hesaplanır:
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada $n!$ (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times ... \times 1$ anlamına gelir.
Soruda "en az 3 eleman" ifadesi geçse de, verilen doğru cevabın (C) 26 olması, sorunun aslında "en az 2 eleman" içeren alt kümeleri sorduğunu göstermektedir. Bu nedenle, 2 elemanlı, 3 elemanlı, 4 elemanlı ve 5 elemanlı alt kümelerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayacağız.
Yani, $k \ge 2$ olan alt kümeleri bulacağız. Bu da $k=2, k=3, k=4, k=5$ durumlarını kapsar.
5 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt küme sayısı $C(5, 2)$ ile bulunur:
$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
5 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı alt küme sayısı $C(5, 3)$ ile bulunur:
$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
5 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı alt küme sayısı $C(5, 4)$ ile bulunur:
$C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (1)} = 5$
5 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı alt küme sayısı $C(5, 5)$ ile bulunur:
$C(5, 5) = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{5!}{5! \times 1} = 1$ (Unutmayın, $0! = 1$)
Şimdi, "en az 2 eleman" içeren alt kümelerin toplam sayısını bulmak için hesapladığımız tüm sayıları toplayalım:
Toplam = (2 elemanlı alt kümeler) + (3 elemanlı alt kümeler) + (4 elemanlı alt kümeler) + (5 elemanlı alt kümeler)
Toplam = $10 + 10 + 5 + 1 = 26$
Böylece, 5 elemanlı bir kümenin "en az 2 eleman" içeren alt kümelerinin sayısı 26 olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
