A = {x | 1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N} kümesinin alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Seçilen bu alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A) 1/4Bu soruda, belirli bir kümenin alt kümelerinden birini seçtiğimizde, seçilen alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olma olasılığını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Verilen küme $A = \{x | 1 \leq x \leq 20, x \in N\}$ şeklindedir. Bu, $A$ kümesinin 1'den 20'ye kadar olan doğal sayılardan oluştuğu anlamına gelir.
$A = \{1, 2, 3, ..., 20\}$
Bu kümenin toplam $20$ elemanı vardır. Yani, $|A| = 20$.
Bir kümenin $n$ elemanı varsa, bu kümenin $2^n$ tane alt kümesi vardır.
$A$ kümesinin $20$ elemanı olduğu için, toplam alt küme sayısı $2^{20}$'dir. Bu, olasılık hesabımızın paydası olacaktır.
Bir alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olması için, alt kümedeki tek sayıların adedinin çift olması gerekir. Çünkü: Çift + Çift = Çift, Tek + Tek = Çift, Tek + Çift = Tek. Yani, bir alt kümedeki çift sayıların toplamı her zaman çift olacaktır. Bu nedenle, alt kümenin toplamının çift olması için, alt kümedeki tek sayıların toplamının da çift olması gerekir. Bu da ancak alt kümede çift sayıda tek sayı bulunmasıyla mümkündür.
Şimdi $A$ kümesindeki tek ve çift sayıları ayıralım:
Tek sayılar kümesi $O = \{1, 3, 5, ..., 19\}$. Bu kümede $10$ tane tek sayı vardır.
Çift sayılar kümesi $E = \{2, 4, 6, ..., 20\}$. Bu kümede $10$ tane çift sayı vardır.
Bir $S$ alt kümesini, $S_O$ (tek sayılardan oluşan kısmı) ve $S_E$ (çift sayılardan oluşan kısmı) olarak düşünebiliriz. $S = S_O \cup S_E$.
$S_E$ için seçimler: $E$ kümesindeki $10$ elemandan herhangi birini seçebiliriz. $E$ kümesinin $2^{10}$ tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin elemanları toplamı her zaman çift olacaktır.
$S_O$ için seçimler: $O$ kümesindeki $10$ elemandan, eleman sayısı çift olan alt kümeleri seçmeliyiz. Yani $0, 2, 4, 6, 8$ veya $10$ tane tek sayı seçmeliyiz. Bu seçimlerin sayısı kombinasyonlar kullanılarak bulunur: $\binom{10}{0} + \binom{10}{2} + \binom{10}{4} + \binom{10}{6} + \binom{10}{8} + \binom{10}{10}$. Bu kombinasyonların toplamı, bilinen bir binom özdeşliğine göre $2^{n-1}$'e eşittir, burada $n$ tek sayıların sayısıdır. Yani, $2^{10-1} = 2^9$ tanedir.
O halde, elemanları toplamı çift olan alt küme sayısı (istenen durum sayısı), $S_E$ seçimleri ile $S_O$ seçimlerinin çarpımıdır:
İstenen durum sayısı $= (\text{çift sayılar kümesinin alt küme sayısı}) \times (\text{tek sayılar kümesinden çift sayıda eleman içeren alt küme sayısı})$
İstenen durum sayısı $= 2^{10} \times 2^9 = 2^{10+9} = 2^{19}$.
Olasılık, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır.
Olasılık $= \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam alt küme sayısı}} = \frac{2^{19}}{2^{20}}$
Olasılık $= \frac{1}{2}$
Cevap B seçeneğidir.
