A ve B kümeleri için s(A) = 5, s(B) = 7 ve s(A∩B) = 2 olduğuna göre, A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmayan kaç alt kümesi vardır?
A) 16
B) 24
C) 28
D) 30
A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmayan alt kümelerinin sayısını bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:
- Adım 1: A kümesinin toplam alt küme sayısını bulalım.
A kümesinin eleman sayısı $s(A) = 5$ olarak verilmiştir. Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.
Buna göre, A kümesinin toplam alt küme sayısı $2^{s(A)} = 2^5 = 32$ tanedir.
- Adım 2: A kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin aynı zamanda B kümesinin de alt kümesi olduğunu bulalım.
Bir $K$ alt kümesi hem A'nın hem de B'nin alt kümesi ise ($K \subseteq A$ ve $K \subseteq B$), bu $K$ alt kümesi aynı zamanda A ve B kümelerinin kesişiminin ($A \cap B$) de alt kümesi olmak zorundadır ($K \subseteq A \cap B$).
Soruda $s(A \cap B) = 2$ olarak verilmiştir. Bu durumda, $A \cap B$ kümesinin alt küme sayısı $2^{s(A \cap B)} = 2^2 = 4$ tanedir.
Bu 4 alt küme, hem A'nın hem de B'nin alt kümesi olan alt kümelerdir.
- Adım 3: A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmayan alt kümelerinin sayısını hesaplayalım.
Bu sayıyı bulmak için, A kümesinin toplam alt küme sayısından, hem A'nın hem de B'nin alt kümesi olan alt kümelerin sayısını çıkarmamız gerekir.
İstenen sayı = (A kümesinin toplam alt küme sayısı) - (A kümesinin aynı zamanda B'nin de alt kümesi olan alt kümelerinin sayısı)
İstenen sayı = $2^{s(A)} - 2^{s(A \cap B)}$
İstenen sayı = $32 - 4 = 28$ tanedir.
Bu durumda, A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmayan 28 alt kümesi vardır.
Cevap D seçeneğidir.
