A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunur, ancak 3 bulunmaz?
A) 16Bu soruda, belirli koşulları sağlayan alt kümeleri bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözebiliriz.
Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. Bizden istenen alt kümeler için iki temel koşul var:
1. 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunacak.
2. 3 elemanı bulunmayacak.
İlk olarak, alt kümelerimizde 3 elemanının bulunmamasını sağlayan koşulu ele alalım. Bu, aslında 3 elemanını kümeden çıkararak yeni bir küme ile çalışacağımız anlamına gelir. Yani, 3'ü yok sayarak alt kümeler oluşturacağız.
Kümemiz $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ idi. 3'ü çıkardığımızda geriye kalan elemanlar:
$A' = \{1, 2, 4, 5, 6\}$
Bu yeni kümenin eleman sayısı $n(A') = 5$'tir. Bu kümeden oluşturulabilecek tüm alt kümelerin sayısı $2^{n(A')} = 2^5 = 32$'dir. Bu 32 alt kümenin her birinde 3 elemanı bulunmaz.
Şimdi, 3'ün bulunmadığı 32 alt küme içinden, 1 veya 2 elemanlarından en az birini içerenleri bulmalıyız. "En az biri bulunur" ifadesi, "tümü bulunmaz" durumunun tersidir. Yani, toplam alt küme sayısından, ne 1'in ne de 2'nin bulunmadığı alt kümeleri çıkarırsak, geriye en az birinin bulunduğu alt kümeler kalır.
Bunun için, $A' = \{1, 2, 4, 5, 6\}$ kümesinden hem 1'i hem de 2'yi çıkararak yeni bir küme oluşturalım:
$A'' = A' \setminus \{1, 2\} = \{4, 5, 6\}$
Bu kümenin eleman sayısı $n(A'') = 3$'tür. Bu kümeden oluşturulabilecek tüm alt kümelerin sayısı $2^{n(A'')} = 2^3 = 8$'dir. Bu 8 alt küme, 3'ün bulunmadığı ve aynı zamanda ne 1'in ne de 2'nin bulunmadığı alt kümelerdir.
Şimdi sonuca ulaşabiliriz:
3'ün bulunmadığı toplam alt küme sayısı: $32$
3'ün bulunmadığı VE (1'in bulunmadığı VE 2'nin bulunmadığı) alt küme sayısı: $8$
İstenen koşulları sağlayan alt küme sayısı, toplam alt küme sayısından, 1 ve 2'nin hiç bulunmadığı alt kümeleri çıkararak bulunur:
$32 - 8 = 24$
Cevap B seçeneğidir.
