Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sarkacın periyodunun farklı gezegenlerde (Dünya ve Ay) nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Sarkaçların hareketini anlamak için temel formülü hatırlamamız ve yerçekimi ivmesinin bu formüldeki rolünü kavramamız gerekiyor.
- 1. Sarkacın Periyot Formülünü Hatırlayalım:
- Basit bir sarkacın periyodu ($T$), sarkacın uzunluğuna ($L$) ve bulunduğu ortamdaki yerçekimi ivmesine ($g$) bağlıdır. Formül şöyledir:
- $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
- Bu formülde $2\pi$ sabit bir sayıdır. $L$ sarkacın ipinin uzunluğudur ve sarkaç aynı olduğu için bu uzunluk değişmez. $g$ ise yerçekimi ivmesidir ve bu değer Dünya ile Ay arasında farklılık gösterir.
- 2. Dünya'daki Durumu İnceleyelim:
- Soruda sarkacın Dünya'daki periyodunun 2 saniye olduğu verilmiş. Dünya'daki yerçekimi ivmesini $g_D$ ile gösterirsek, formülü şöyle yazabiliriz:
- $T_D = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_D}}$
- Biliyoruz ki $T_D = 2$ saniyedir.
- 3. Ay'daki Durumu İnceleyelim:
- Sarkaç Ay'a götürüldüğünde, sarkacın uzunluğu ($L$) değişmez. Ancak yerçekimi ivmesi değişir. Soruda Ay'daki yerçekimi ivmesinin Dünya'dakinin $1/6$'sı kadar olduğu belirtilmiş. Yani:
- $g_A = \frac{1}{6} g_D$
- Şimdi Ay'daki periyot ($T_A$) için formülü yazalım:
- $T_A = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_A}}$
- 4. Ay'daki Yerçekimi İvmesini Formülde Yerine Koyalım:
- $g_A$ değerini $T_A$ formülünde yerine yazarsak:
- $T_A = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\frac{1}{6} g_D}}$
- Kesirli ifadeyi düzenleyelim:
- $T_A = 2\pi \sqrt{\frac{6L}{g_D}}$
- 5. Periyotları Karşılaştıralım:
- Şimdi $T_A$ formülünü $T_D$ formülüne benzetmeye çalışalım. Kök içindeki 6 sayısını kök dışına çıkarabiliriz:
- $T_A = 2\pi \sqrt{6} \sqrt{\frac{L}{g_D}}$
- Bu ifadeyi biraz daha düzenlersek:
- $T_A = \sqrt{6} \cdot \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_D}} \right)$
- Parantez içindeki ifadenin Dünya'daki periyot ($T_D$) olduğunu görüyoruz:
- $T_D = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_D}}$
- O halde, Ay'daki periyot ile Dünya'daki periyot arasındaki ilişki şöyledir:
- $T_A = \sqrt{6} \cdot T_D$
- 6. Sonucu Hesaplayalım:
- Dünya'daki periyot $T_D = 2$ saniye olduğuna göre, Ay'daki periyot:
- $T_A = \sqrt{6} \cdot 2$ saniye
- Bu da demektir ki, sarkacın periyodu Ay'da Dünya'dakinin $\sqrt{6}$ katına çıkar.
Cevap B seçeneğidir.
