Radyan cinsinden verilen \( \frac{17\pi}{4} \) açısının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) \( \frac{\pi}{4} \)Sevgili öğrenciler, bir açının esas ölçüsünü bulmak, o açının birim çember üzerindeki başlangıç noktasından itibaren saat yönünün tersine doğru ölçülen ve $0$ ile $2\pi$ (radyan) arasında kalan kısmını bulmak demektir. Yani, açının tam turlarını (her $2\pi$ radyan bir tam turdur) atıp kalan kısmını bulacağız.
Bir açının esas ölçüsü, o açının $0$ ile $2\pi$ radyan aralığındaki karşılığıdır. Yani, $0 \le \text{esas ölçü} < 2\pi$ olmalıdır. Verilen açı $ \frac{17\pi}{4} $ radyandır.
Bir tam tur $2\pi$ radyandır. Bizim açımız $ \frac{17\pi}{4} $ olduğu için, bu açının içinde kaç tane $2\pi$ olduğunu bulmalıyız. $2\pi$ ifadesini paydası $4$ olacak şekilde yazarsak $ \frac{8\pi}{4} $ olur. Şimdi $ \frac{17\pi}{4} $ içindeki $ \frac{8\pi}{4} $ sayısını bulmak için $17$'yi $8$'e bölelim.
$17$ sayısını $8$'e böldüğümüzde bölüm $2$, kalan ise $1$ olur. Yani $17 = 2 \times 8 + 1$.
Yukarıdaki bölme işlemine göre, $ \frac{17\pi}{4} $ açısını şu şekilde yazabiliriz:
$ \frac{17\pi}{4} = \frac{(2 \times 8 + 1)\pi}{4} $
Bu ifadeyi dağıtarak ve sadeleştirerek devam edelim:
$ \frac{2 \times 8\pi}{4} + \frac{1\pi}{4} = 2 \times \left(\frac{8\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = 2 \times (2\pi) + \frac{\pi}{4} $
Burada $ 2 \times (2\pi) $ kısmı, açının $2$ tam tur attığını gösterir. Tam turlar esas ölçüyü değiştirmez. Geriye kalan kısım ise $ \frac{\pi}{4} $'tür.
Bu kalan kısım $ \frac{\pi}{4} $, $0$ ile $2\pi$ aralığında mıdır? Evet, $0 \le \frac{\pi}{4} < 2\pi$ koşulunu sağlar.
Dolayısıyla, $ \frac{17\pi}{4} $ açısının esas ölçüsü $ \frac{\pi}{4} $ radyandır.
Cevap A seçeneğidir.
