Bir okulda düzenlenen bilgi yarışmasında, her doğru cevap için +5 puan, her yanlış cevap için -3 puan verilmektedir. Ayşe'nin net puanı 17 olduğuna göre, doğru ve yanlış cevap sayıları farkının mutlak değeri kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür problemler, genellikle "Diophantine denklemleri" olarak adlandırılan, tam sayı çözümleri aradığımız denklemlerle ilgilidir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu nasıl çözeceğimizi görelim.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlayalım
- Öncelikle, Ayşe'nin doğru ve yanlış cevap sayılarını temsil eden değişkenler atayalım:
- Doğru cevap sayısı: $D$
- Yanlış cevap sayısı: $Y$
Unutmayalım ki $D$ ve $Y$ birer sayı adedi olduğu için negatif olamazlar, yani $D \ge 0$ ve $Y \ge 0$ olmalıdır.
- 2. Adım: Denklemi Kuralım
- Soruda verilen puanlama sistemine göre:
- Her doğru cevap için $+5$ puan.
- Her yanlış cevap için $-3$ puan.
- Ayşe'nin net puanı $17$.
Bu bilgilere göre denklemi yazarsak:
$5D - 3Y = 17$
- 3. Adım: Denklemi Çözmek İçin Yöntem Belirleyelim
- Bu denklemde $D$ ve $Y$ tam sayı olmak zorunda olduğu için, bu bir Diophantine denklemidir. $D$ ve $Y$ için olası tam sayı değerlerini bulmamız gerekiyor. Denklemi $D$ veya $Y$'den birini diğer cinsinden ifade ederek çözmeye başlayabiliriz. $5D = 17 + 3Y$ şeklinde yazalım.
Buradan $D = \frac{17 + 3Y}{5}$ elde ederiz.
$D$'nin bir tam sayı olabilmesi için, $17 + 3Y$ ifadesinin $5$'e tam bölünmesi gerekir.
- 4. Adım: Modüler Aritmetik Kullanarak $Y$ İçin Olası Değerleri Bulalım
- $17 + 3Y$ ifadesinin $5$'e tam bölünmesi gerektiğini biliyoruz. Bunu modüler aritmetik kullanarak ifade edebiliriz:
$17 + 3Y \equiv 0 \pmod{5}$
$17$'nin $5$'e bölümünden kalan $2$'dir. Bu yüzden denklemi şöyle yazabiliriz:
$2 + 3Y \equiv 0 \pmod{5}$
$3Y \equiv -2 \pmod{5}$
$-2$ sayısı $5$'e göre $3$'e denktir (çünkü $-2+5=3$). O halde:
$3Y \equiv 3 \pmod{5}$
Her iki tarafı $3$'e bölebiliriz (çünkü $3$ ve $5$ aralarında asaldır):
$Y \equiv 1 \pmod{5}$
Bu, $Y$'nin $5$'e bölündüğünde $1$ kalanını veren bir sayı olması gerektiği anlamına gelir. Yani $Y$ sayısı $1, 6, 11, 16, 21, \dots$ gibi değerler alabilir. Genel olarak, $Y = 5k + 1$ şeklinde yazabiliriz, burada $k$ bir tam sayıdır ve $Y \ge 0$ olduğu için $k \ge 0$ olmalıdır.
- 5. Adım: $D$ ve $Y$ İçin Genel İfadeleri Bulalım
- Şimdi $Y = 5k + 1$ ifadesini $D = \frac{17 + 3Y}{5}$ denkleminde yerine koyalım:
$D = \frac{17 + 3(5k + 1)}{5}$
$D = \frac{17 + 15k + 3}{5}$
$D = \frac{20 + 15k}{5}$
$D = 4 + 3k$
Böylece $D$ ve $Y$ için genel ifadeleri bulduk:
$D = 4 + 3k$
$Y = 1 + 5k$
Burada $k \ge 0$ olmalıdır, çünkü doğru ve yanlış cevap sayıları negatif olamaz. ($D=4+3k \ge 4$ ve $Y=1+5k \ge 1$ olduğundan bu koşul sağlanır.)
- 6. Adım: Doğru ve Yanlış Cevap Sayıları Farkının Mutlak Değerini Bulalım
- Bizden istenen $|D - Y|$ değeridir. Genel ifadeleri yerine koyalım:
$|D - Y| = |(4 + 3k) - (1 + 5k)|$
$|D - Y| = |4 + 3k - 1 - 5k|$
$|D - Y| = |3 - 2k|$
- 7. Adım: Olası Değerleri Test Edelim ve Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Şimdi $k$ için $0$'dan başlayarak tam sayı değerleri verelim ve $|3 - 2k|$ ifadesinin alabileceği değerleri bulalım:
- $k=0 \Rightarrow |3 - 2(0)| = |3| = 3$
- $k=1 \Rightarrow |3 - 2(1)| = |1| = 1$
- $k=2 \Rightarrow |3 - 2(2)| = |3 - 4| = |-1| = 1$
- $k=3 \Rightarrow |3 - 2(3)| = |3 - 6| = |-3| = 3$
- $k=4 \Rightarrow |3 - 2(4)| = |3 - 8| = |-5| = 5$ (Bu A seçeneğidir)
- $k=5 \Rightarrow |3 - 2(5)| = |3 - 10| = |-7| = 7$ (Bu B seçeneğidir)
- $k=6 \Rightarrow |3 - 2(6)| = |3 - 12| = |-9| = 9$ (Bu C seçeneğidir)
- $k=7 \Rightarrow |3 - 2(7)| = |3 - 14| = |-11| = 11$ (Bu D seçeneğidir)
Gördüğümüz gibi, $k=7$ için doğru ve yanlış cevap sayıları farkının mutlak değeri $11$ olmaktadır. Bu değer seçenekler arasında yer almaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
