Bir ağacın dallanma yapısı üslü sayılarla modellenebilir. Bir ana daldan 3 yeni dal çıkıyor ve bu yeni dalların her birinden de tekrar 3 yeni dal çıkıyor. Bu süreç 4 seviye boyunca devam ettiğinde, 4. seviyede toplam kaç yeni dal oluşur? (Ana dalı 0. seviye kabul ediniz.)
A) $3^3$Bu problemde, bir ağacın dallanma yapısını üslü sayılarla modelleyeceğiz. Ana dalı 0. seviye olarak kabul ediyoruz ve her daldan 3 yeni dal çıktığını biliyoruz. Süreç 4 seviye devam ediyor ve bizden 4. seviyede oluşan toplam yeni dal sayısı isteniyor.
Ana daldan (0. seviye) 3 yeni dal çıktığına göre, 1. seviyede oluşan yeni dal sayısı $3$'tür. Bunu üslü ifade olarak $3^1$ şeklinde yazabiliriz.
Şimdi, 1. seviyede oluşan her bir daldan tekrar 3 yeni dal çıkacak. 1. seviyede 3 dalımız vardı. Her birinden 3 dal çıkarsa:
$3 \text{ (1. seviye dal sayısı)} \times 3 \text{ (her daldan çıkan yeni dal sayısı)} = 9$ yeni dal oluşur.
Bunu üslü ifade olarak $3 \times 3 = 3^2$ şeklinde yazabiliriz.
2. seviyede oluşan her bir daldan tekrar 3 yeni dal çıkacak. 2. seviyede 9 dalımız vardı. Her birinden 3 dal çıkarsa:
$9 \text{ (2. seviye dal sayısı)} \times 3 \text{ (her daldan çıkan yeni dal sayısı)} = 27$ yeni dal oluşur.
Bunu üslü ifade olarak $3^2 \times 3 = 3^3$ şeklinde yazabiliriz.
3. seviyede oluşan her bir daldan tekrar 3 yeni dal çıkacak. 3. seviyede 27 dalımız vardı. Her birinden 3 dal çıkarsa:
$27 \text{ (3. seviye dal sayısı)} \times 3 \text{ (her daldan çıkan yeni dal sayısı)} = 81$ yeni dal oluşur.
Bunu üslü ifade olarak $3^3 \times 3 = 3^4$ şeklinde yazabiliriz.
Gördüğümüz gibi, her seviyede oluşan yeni dal sayısı ile seviye numarası arasında bir ilişki olduğunu fark ettik:
1. seviyede $3^1$ dal,
2. seviyede $3^2$ dal,
3. seviyede $3^3$ dal,
4. seviyede $3^4$ dal oluşmaktadır.
Bu durumda, 4. seviyede oluşan toplam yeni dal sayısı $3^4$ olacaktır.
