EBOB nasıl bulunur Test 1

Bir sınıftaki öğrenciler 4'erli, 6'şarlı veya 8'erli gruplara ayrıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor.
Sınıf mevcudu 50'den az olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır?

A) 27
B) 33
C) 39
D) 45

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir sınıftaki öğrenci sayısını bulmak için bölme ve katlar konusundaki bilgimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu soruyu birlikte çözelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfade Edelim

  Sınıftaki öğrenci sayısına $S$ diyelim. Soruda verilen bilgilere göre:

  • Öğrenciler 4'erli gruplara ayrıldığında 3 öğrenci artıyor. Bu, $S$ sayısının 4'e bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir. Yani, $S = 4k + 3$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
  • Öğrenciler 6'şarlı gruplara ayrıldığında 3 öğrenci artıyor. Bu, $S$ sayısının 6'ya bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir. Yani, $S = 6m + 3$ (burada $m$ bir tam sayıdır).
  • Öğrenciler 8'erli gruplara ayrıldığında 3 öğrenci artıyor. Bu, $S$ sayısının 8'e bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir. Yani, $S = 8n + 3$ (burada $n$ bir tam sayıdır).

  Tüm bu ifadelerden anlıyoruz ki, eğer öğrenci sayısından 3 çıkarırsak ($S-3$), bu sayı hem 4'e, hem 6'ya hem de 8'e tam bölünebilen bir sayı olmalıdır. Ayrıca, sınıf mevcudu 50'den azdır, yani $S < 50$ olmalıdır.

• Adım 2: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım

  $S-3$ sayısı hem 4'e, hem 6'ya hem de 8'e tam bölünebildiğine göre, bu sayı 4, 6 ve 8'in ortak katı olmalıdır. Bu tür problemlerde genellikle en küçük ortak katı (EKOK) bulmakla başlarız. EKOK, bu sayıların ortak katlarının en küçüğüdür.

  4, 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulalım:

  • 4'ün asal çarpanları: $2 \times 2 = 2^2$
  • 6'nın asal çarpanları: $2 \times 3$
  • 8'in asal çarpanları: $2 \times 2 \times 2 = 2^3$

  EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üssünü alırız ve çarparız:

  EKOK(4, 6, 8) = $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$.

  Bu, $S-3$ sayısının 24'ün bir katı olması gerektiği anlamına gelir.

• Adım 3: Olası Sınıf Mevcutlarını Bulalım

  $S-3$ sayısı 24'ün katları olabilir. 24'ün katlarını yazalım:

  • $24 \times 1 = 24$
  • $24 \times 2 = 48$
  • $24 \times 3 = 72$
  • ... ve bu şekilde devam eder.

  Şimdi, $S-3$ değerlerine 3 ekleyerek olası öğrenci sayılarını ($S$) bulalım:

  • Eğer $S-3 = 24$ ise, $S = 24 + 3 = 27$ öğrenci.
  • Eğer $S-3 = 48$ ise, $S = 48 + 3 = 51$ öğrenci.
  • Eğer $S-3 = 72$ ise, $S = 72 + 3 = 75$ öğrenci.
• Adım 4: Şartı Uygulayalım ve Doğru Cevabı Bulalım

  Soruda bize sınıf mevcudunun 50'den az olduğu söylenmişti ($S < 50$).

  Bulduğumuz olası öğrenci sayıları 27, 51, 75... idi. Bu sayılardan 50'den küçük olan tek sayı 27'dir.

  O halde, sınıfta 27 öğrenci vardır.

• Adım 5: Cevabı Kontrol Edelim

  Sınıfta 27 öğrenci olduğunu varsayalım:

  • 4'erli gruplara ayrıldığında: $27 \div 4 = 6$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)
  • 6'şarlı gruplara ayrıldığında: $27 \div 6 = 4$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)
  • 8'erli gruplara ayrıldığında: $27 \div 8 = 3$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)
  • Sınıf mevcudu 50'den az mı? Evet, $27 < 50$. (Doğru)

  Tüm şartlar sağlandığına göre, cevabımız doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.