EBOB nasıl bulunur Test 1

Bir otobüs firması A şehrinden B şehrine 45 dakikada, B şehrinden C şehrine 75 dakikada sefer düzenlemektedir.
Sabah 08:00'de A şehrinden hareket eden bir otobüs, her üç şehre de aynı anda tekrar varabilmesi için en az kaç dakika sonra A şehrinden tekrar hareket etmelidir?

A) 225
B) 300
C) 375
D) 450

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir otobüsün farklı şehirler arasındaki sefer süreleri verilmiş ve otobüsün A şehrinden tekrar hareket edebilmesi için en az kaç dakika geçmesi gerektiği soruluyor. Bu tür problemler, farklı zaman aralıklarının ne zaman tekrar bir araya geleceğini bulmamızı gerektiren En Küçük Ortak Kat (EKOK) problemleridir.

• Adım 1: Verilen Süreleri Belirleyelim

  Otobüsün A şehrinden B şehrine gitme süresi: $45$ dakika.

  Otobüsün B şehrinden C şehrine gitme süresi: $75$ dakika.

  Bizden istenen, otobüsün A şehrinden tekrar hareket edebilmesi için geçmesi gereken en az süredir. Bu süre, hem $45$ dakikanın hem de $75$ dakikanın tam katı olmalıdır ki seferler bir döngü içinde tekrar başlasın ve tüm şehirler için bir uyum sağlansın. Bu nedenle, $45$ ve $75$ sayılarının En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmamız gerekiyor.

• Adım 2: Sayıların Asal Çarpanlarını Bulalım

  EKOK'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırırız:

  • $45$ sayısının asal çarpanları: $45 = 3 \times 15$ $15 = 3 \times 5$ Yani, $45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1$
  • $75$ sayısının asal çarpanları: $75 = 3 \times 25$ $25 = 5 \times 5$ Yani, $75 = 3 \times 5 \times 5 = 3^1 \times 5^2$
• Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplayalım

  EKOK'u bulmak için, asal çarpanlara ayırdığımız sayılardaki tüm asal çarpanları (ortak olanlar ve olmayanlar) en büyük üsleriyle çarparız.

  • $3$ asal çarpanının en büyük üssü: $3^2$ (45 sayısından gelir)
  • $5$ asal çarpanının en büyük üssü: $5^2$ (75 sayısından gelir)

  EKOK($45, 75$) = $3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225$ dakika.

  Bu, otobüsün A şehrinden tekrar hareket etmesi için en az $225$ dakika geçmesi gerektiği anlamına gelir. Bu süre sonunda, hem $45$ dakikalık seferler (225/45 = 5 sefer) hem de $75$ dakikalık seferler (225/75 = 3 sefer) tam olarak tamamlanmış olur ve otobüsün seferleri bir uyum içinde yeniden başlayabilir.

Cevap A seçeneğidir.