EBOB nasıl bulunur Test 1

Bir okulda 1. sınıflar 40, 2. sınıflar 56, 3. sınıflar 72 kişiliktir. Tüm sınıflar şubelere ayrılacak ve her şube eşit sayıda öğrenciden oluşacaktır.
En az kaç şube oluşturulabilir?

A) 7
B) 14
C) 21
D) 28

Bu problemde, farklı sınıflardaki öğrencileri eşit sayıda şubelere ayırarak toplamda en az kaç şube oluşturabileceğimizi bulmamız isteniyor. "En az şube" oluşturmak için, her şubedeki öğrenci sayısının olabildiğince fazla olması gerekir. Bu tür durumlarda, matematikteki En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramını kullanırız.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Hedefi Belirleyelim

  Elimizde 1. sınıflarda 40, 2. sınıflarda 56 ve 3. sınıflarda 72 öğrenci var. Bu öğrencileri öyle şubelere ayıracağız ki, her şubede aynı sayıda öğrenci olacak. Toplam şube sayısının en az olmasını istiyoruz. Bunun için, her şubeye düşen öğrenci sayısını maksimum yapmalıyız. Yani, 40, 56 ve 72 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünü bulmalıyız. Bu da EBOB'dur.

• Adım 2: EBOB'u (En Büyük Ortak Bölen) Bulalım

  40, 56 ve 72 sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:

  40 sayısının asal çarpanları: $2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$

  56 sayısının asal çarpanları: $2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7$

  72 sayısının asal çarpanları: $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$

  Bu üç sayının ortak olan asal çarpanlarını ve bu çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB'u buluruz. Gördüğümüz gibi, her üç sayıda da ortak olan tek asal çarpan $2^3$'tür.

  EBOB(40, 56, 72) = $2^3 = 8$.

  Bu, her şubede 8 öğrenci olması gerektiği anlamına gelir. Bu sayı, her üç sınıfın öğrenci sayısını da tam böldüğü için, her sınıftaki öğrenciler de eşit sayıda şubelere ayrılabilir.

• Adım 3: Her Sınıf İçin Oluşturulacak Şube Sayısını Hesaplayalım

  Her şubede 8 öğrenci olacağına göre, her sınıf için kaç şube gerekeceğini bulalım:

  1. sınıflar için: $40 \text{ öğrenci} / 8 \text{ öğrenci/şube} = 5 \text{ şube}$

  2. sınıflar için: $56 \text{ öğrenci} / 8 \text{ öğrenci/şube} = 7 \text{ şube}$

  3. sınıflar için: $72 \text{ öğrenci} / 8 \text{ öğrenci/şube} = 9 \text{ şube}$

• Adım 4: Toplam Şube Sayısını Bulalım

  Şimdi tüm sınıflar için oluşturulan şube sayılarını toplayarak toplamda en az kaç şube oluşturulabileceğini bulalım:

  Toplam şube sayısı = $5 \text{ (1. sınıflar)} + 7 \text{ (2. sınıflar)} + 9 \text{ (3. sınıflar)} = 21 \text{ şube}$.

Böylece, her şubede eşit sayıda öğrenci olacak şekilde ve toplamda en az şube oluşturacak şekilde 21 şube oluşturulabilir.

Cevap C seçeneğidir.