10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği Test 1

Birim çember üzerinde alınan bir noktanın koordinatları (a,b) olarak veriliyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A) a + b = 1
B) a² - b² = 1
C) a² + b² = 1
D) a × b = 1

Bu soruda, birim çemberin temel tanımını ve koordinat sistemindeki yerini kullanarak doğru ifadeyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Birim Çember Nedir?

  Birim çember, merkezi başlangıç noktası (orijin) olan $(0,0)$ ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Bu tanım, birim çember üzerindeki her noktanın orijine olan uzaklığının $1$ birim olduğu anlamına gelir.

• Noktanın Koordinatları ve Uzaklık Formülü:

  Birim çember üzerinde alınan bir noktanın koordinatları $(a,b)$ olarak verilmiş. Bu noktanın orijine $(0,0)$ olan uzaklığını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız. Uzaklık formülü, $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklığı $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ olarak verir.

• Uzaklığı Birim Çember Tanımıyla Eşleştirme:

  Bizim durumumuzda, $(x_1, y_1) = (0,0)$ ve $(x_2, y_2) = (a,b)$'dir. Bu durumda, orijin ile $(a,b)$ noktası arasındaki uzaklık:

  $\sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

  Birim çemberin tanımına göre bu uzaklık $1$ birime eşit olmalıdır. Yani:

  $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$

• Denklemi Sadeleştirme:

  Eşitliğin her iki tarafının da karesini alarak karekökten kurtulabiliriz:

  $(\sqrt{a^2 + b^2})^2 = 1^2$

  $a^2 + b^2 = 1$

  Bu ifade, birim çember üzerindeki her $(a,b)$ noktası için her zaman doğrudur.

• Seçenek A'yı Değerlendirme:

  $a + b = 1$ ifadesi her zaman doğru değildir. Örneğin, $(1,0)$ noktası birim çember üzerindedir ve $1+0=1$ sağlar. Ancak $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ noktası da birim çember üzerindedir fakat $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 1$.

• Seçenek B'yi Değerlendirme:

  $a^2 - b^2 = 1$ ifadesi de her zaman doğru değildir. Örneğin, $(1,0)$ noktası için $1^2 - 0^2 = 1$ sağlanır. Ancak $(0,1)$ noktası için $0^2 - 1^2 = -1 \neq 1$.

• Seçenek C'yi Değerlendirme:

  $a^2 + b^2 = 1$ ifadesi, yukarıdaki adımlarda elde ettiğimiz sonuçtur ve birim çemberin tanımından doğrudan gelir. Birim çember üzerindeki her nokta için bu ifade her zaman doğrudur.

• Seçenek D'yi Değerlendirme:

  $a \times b = 1$ ifadesi de her zaman doğru değildir. Örneğin, $(1,0)$ noktası için $1 \times 0 = 0 \neq 1$.

Bu nedenle, birim çember üzerinde alınan bir noktanın koordinatları $(a,b)$ ise, her zaman $a^2 + b^2 = 1$ ifadesi doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.