f: R → R olmak üzere f(x) = 3x - 5 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını incelemek isteyen bir öğrenci aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?
A) f(a) = f(b) ise a = b olduğunu göstermeliBir fonksiyonun birebir (veya injektif) olup olmadığını anlamak, matematikte önemli bir kavramdır. Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki farklı her elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi demektir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
Bu tanımı matematiksel olarak ifade etmenin eşdeğer bir yolu da şudur: Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu ancak $x_1 = x_2$ olduğunda mümkün olmalıdır. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
Bu ifade, birebir fonksiyonun matematiksel tanımının ta kendisidir. Eğer iki farklı giriş ($a$ ve $b$) aynı çıkışı veriyorsa ($f(a) = f(b)$), o zaman bu girişlerin aslında farklı olamayacağını, yani $a = b$ olması gerektiğini göstermelisiniz. Eğer bunu gösterebilirseniz, fonksiyonun birebir olduğunu kanıtlamış olursunuz. Örneğin, verilen $f(x) = 3x - 5$ fonksiyonu için bu adımlar şöyle olurdu:
1. $f(a) = f(b)$ olduğunu varsayalım.
2. Bu durumda $3a - 5 = 3b - 5$ eşitliği geçerlidir.
3. Eşitliğin her iki tarafına $5$ ekleyerek $-5$leri yok edelim: $3a = 3b$.
4. Eşitliğin her iki tarafını $3$e bölelim: $a = b$.
Gördüğümüz gibi, $f(a) = f(b)$ varsayımı bizi $a = b$ sonucuna götürdü. Bu da $f(x) = 3x - 5$ fonksiyonunun birebir olduğunu kanıtlar. Bu nedenle, birebirliği incelemek için yapılması gereken işlem budur.
Bu işlem, fonksiyonun "sabit noktalarını" bulmak anlamına gelir. Sabit noktalar, fonksiyonun kendisini değiştirmeyen giriş değerleridir. Bir fonksiyonun birebir olup olmadığıyla doğrudan bir ilgisi yoktur. Bir fonksiyon birebir olabilir ve sabit noktalara sahip olabilir veya olmayabilir; aynı şekilde birebir olmayabilir ve sabit noktalara sahip olabilir veya olmayabilir.
Bu işlem, fonksiyonun "köklerini" veya "sıfırlarını" bulmak anlamına gelir. Yani, fonksiyonun hangi giriş değerleri için çıktısının $0$ olduğunu bulmaktır. Bu, fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktaları bulmakla eşdeğerdir. Birebirliği incelemekle doğrudan ilgili değildir. Bir fonksiyonun tek bir kökü olabilir ve birebir olmayabilir (örneğin $f(x) = x^2$ fonksiyonu $x=0$ için $f(x)=0$ olur ama birebir değildir). Ya da birden fazla kökü olabilir ve birebir olmayabilir.
Bu seçenek, aslında C seçeneği ile aynı anlama gelir; yani fonksiyonun köklerini bulmaktır. Birebirliği grafiksel olarak incelemek için "yatay doğru testi" (horizontal line test) yapılır. Bu testte, x eksenine paralel doğrular çizilir ve bu doğruların fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesip kesmediğine bakılır. Eğer hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa, fonksiyon birebirdir. Ancak bu seçenekte bahsedilen x eksenini kestiği noktaları bulmak, yatay doğru testi değildir ve birebirliği doğrudan göstermez.
Cevap A seçeneğidir.
