Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birebir ve örtendir
B) Birebir değildir ama örtendir
C) Birebirdir ama örten değildir
D) Ne birebir ne de örtendir
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olduğunu ve birebir mi, örten mi olduğunu belirlememiz isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- 1. Fonksiyonun Tanım ve Değer Kümesini Anlayalım: Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 4x + 3$ bir parabol denklemidir. Soruda belirtildiği gibi, tanım kümesi gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$) ve değer kümesi de belirtilmediği için gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$) olarak kabul edilir. Yani $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- 2. Fonksiyonun Birebir Olup Olmadığını İnceleyelim: Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı her $x_1$ ve $x_2$ değeri için $f(x_1) \neq f(x_2)$ olması gerekir. Yani, aynı görüntüye sahip farklı $x$ değerleri olmamalıdır. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ bir parabol olduğundan, tepe noktasına göre simetriktir. Bu tür fonksiyonlar genellikle tüm gerçek sayılar kümesinde birebir değildir. Tepe noktasının $x$ koordinatını bulalım: $x_v = -b/(2a)$. Burada $a=1$ ve $b=-4$ olduğundan $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 4/2 = 2$. Şimdi tepe noktasına eşit uzaklıkta olan farklı $x$ değerleri için fonksiyon değerlerini kontrol edelim. Örneğin, $x=1$ ve $x=3$ değerlerini alalım (her ikisi de $x=2$'ye 1 birim uzaklıktadır). $f(1) = (1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. $f(3) = (3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Gördüğümüz gibi, $1 \neq 3$ olmasına rağmen $f(1) = f(3) = 0$ olmuştur. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.
- 3. Fonksiyonun Örten Olup Olmadığını İnceleyelim: Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir. Yani, fonksiyonun görüntü kümesi (range) ile değer kümesi (codomain) eşit olmalıdır. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 4x + 3$ bir paraboldür ve $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($a=1 > 0$) olduğu için kolları yukarı doğrudur. Bu, fonksiyonun bir minimum değeri olduğu anlamına gelir. Minimum değer, tepe noktasının $y$ koordinatıdır. Tepe noktasının $x$ koordinatını $x_v = 2$ olarak bulmuştuk. $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $-1$'dir. Fonksiyonun görüntü kümesi $[-1, \infty)$ aralığıdır. Değer kümesi ise $\mathbb{R}$ (tüm gerçek sayılar) olarak kabul edilmiştir. Görüntü kümesi $[-1, \infty)$ iken değer kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan, bu iki küme birbirine eşit değildir. Örneğin, $-2$ sayısı değer kümesinde olmasına rağmen fonksiyonun görüntü kümesinde değildir (yani $f(x) = -2$ olacak bir $x$ değeri yoktur). Bu durum, fonksiyonun örten olmadığını gösterir.
- 4. Sonuç: Yaptığımız incelemeler sonucunda, $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunun ne birebir ne de örten olduğunu bulduk.
Cevap D seçeneğidir.
